ההבדל בין מכניקה קלאסית למכניקת קוונטים הוא עצום. בעוד שבמכניקה הקלאסית יש חלקיקים ואובייקטים מיקומים מוגדרים בבירור, במכניקת הקוונטים (לפני מדידה) א ניתן לומר כי לחלקיק יש טווח של מיקומים אפשריים המתוארים במונחים של הסתברויות על ידי הגל פוּנקצִיָה.
משוואת שרודינגר מגדירה את פונקציית הגל של מערכות מכניות קוונטיות, ולמידה כיצד להשתמש בה ולפרש אותה היא חלק חשוב מכל קורס במכניקת הקוונטים. אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר לפיתרון למשוואה זו היא לחלקיק בקופסה.
פונקציית הגל
במכניקת הקוונטים, חלקיק מיוצג על ידי aתפקוד גלים. זה מסומן בדרך כלל באות היוונית psi (Ψ) וזה תלוי במיקום ובזמן, והוא מכיל את כל מה שניתן לדעת על החלקיק.
המודול של פונקציה זו בריבוע אומר לך את ההסתברות שהחלקיק יימצא במיקוםאיקסבזמןt, בתנאי שהפונקציה "מנורמלת". פירוש הדבר הוא רק מותאם כך שהוא בטוח יימצא בכמהעמדהאיקסבזמןtכאשר התוצאות בכל מקום מסוכמות, כלומר מצב הנורמליזציה אומר כי:
\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
אתה יכול להשתמש בפונקציית הגל לחישוב ערך הצפי למיקום החלקיק בזמןt, כאשר ערך הציפייה פירושו רק הערך הממוצע שעליו תקבלו
איקסאם חזרת על המדידה מספר רב של פעמים. כמובן, זה לא אומר שזו תהיה התוצאה שתקבל עבור כל מדידה נתונה - כלומרביעילותאקראית, אם כי בדרך כלל ישנם מיקומים הסבירים משמעותית יותר מאחרים.ישנן כמויות רבות אחרות שאתה יכול לחשב עבורן ערכי ציפייה, כגון ערכי מומנטום ואנרגיה, כמו גם "תצפיות" רבות אחרות.
משוואת שרודינגר
משוואת שרודינגר היא משוואה דיפרנציאלית המשמשת למציאת הערך עבור פונקציית הגל והמצבים העצמיים לאנרגיית החלקיק. ניתן להפיק את המשוואה משימור האנרגיה והביטויים לאנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של חלקיק. הדרך הפשוטה ביותר לכתוב אותו היא:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
אבל כאןהמייצג אתמפעיל המילטוניאן, שהוא כשלעצמו ביטוי ארוך למדי:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)
פה,Mהוא המסה, ℏ הוא הקבוע של פלאנק חלקי 2π, ו-ו (איקס) היא פונקציה כללית לאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת. להמילטוניאן שני חלקים נפרדים - המונח הראשון הוא האנרגיה הקינטית של המערכת והמונח השני הוא האנרגיה הפוטנציאלית.
כל ערך נצפה במכניקת הקוונטים משויך למפעיל, ובגרסה הבלתי תלויה בזמן של משוואת שרודינגר, המילטון הוא מפעיל האנרגיה. עם זאת, בגרסה התלויה בזמן המוצגת לעיל, המילטון מייצר גם את התפתחות הזמן של פונקציית הגל.
בשילוב כל המידע הכלול במשוואה, תוכלו לתאר את התפתחות החלקיק במרחב ובזמן ולנבא גם את ערכי האנרגיה האפשריים עבורו.
משוואת שרודינגר בלתי תלויה בזמן
ניתן להסיר את החלק תלוי הזמן במשוואה - כדי לתאר מצב שאינו מתפתח במיוחד עם הזמן - על ידי הפרדת פונקציית הגל לחלקי חלל וזמן:Ψ(איקס, t) = Ψ(איקס) f(t). ניתן לבטל את החלקים התלויים בזמן מחוץ למשוואה, מה שמשאיר את הגרסה הבלתי תלויה בזמן של משוואת שרודינגר:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
ההיא האנרגיה של המערכת. זו הצורה המדויקת של משוואת ערך עצמי, עםΨ(איקסבהיותו התפקוד העצמי, והבהיותו הערך העצמי, ולכן המשוואה הבלתי תלויה בזמן נקראת לעתים קרובות משוואת הערך העצמי לאנרגיה של מערכת מכנית קוונטית. פונקציית הזמן ניתנת פשוט על ידי:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
המשוואה הבלתי תלויה בזמן שימושית מכיוון שהיא מפשטת את החישובים למצבים רבים בהם אבולוציית הזמן אינה מכריעה במיוחד. זוהי הצורה השימושית ביותר לבעיות "חלקיק בקופסה" ואף לקביעת רמות האנרגיה של אלקטרונים סביב אטום.
חלקיק בקופסה (באר אינסופית מרובעת)
אחד הפתרונות הפשוטים ביותר למשוואת שרודינגר הבלתי תלויה בזמן הוא עבור חלקיק ב- באר מרובעת עמוקה לאין שיעור (כלומר באר פוטנציאלית אינסופית), או קופסת בסיס חד ממדית אורךל. כמובן שמדובר באידיאליזציות תיאורטיות, אך זה נותן מושג בסיסי כיצד פותרים את משוואת שרודינגר מבלי להתחשב ברבים מהסיבוכים הקיימים בטבע.
כאשר האנרגיה הפוטנציאלית מוגדרת ל -0 מחוץ לבאר כאשר צפיפות ההסתברות היא גם 0, משוואת שרודינגר למצב זה הופכת ל:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
והפתרון הכללי למשוואה של צורה זו הוא:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
עם זאת, התבוננות בתנאי הגבול יכולה לעזור לצמצם זאת. לאיקס= 0 ואיקס= L, כלומר דפנות התיבה או דפנות הבאר, פונקציית הגל צריכה לעבור לאפס. לפונקציית הקוסינוס יש ערך 1 כאשר הארגומנט הוא 0, כך שתנאי הגבול יתמלאו, הקבועבחייב להיות שווה לאפס. זה משאיר:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
אתה יכול גם להשתמש בתנאי הגבול כדי להגדיר ערך עבורk. מאחר ופונקציית החטא הולכת לאפס בערכיםנπ, שם המספר הקוונטינ= 0, 1, 2, 3... וכן הלאה, זה אומר מתיאיקס = להמשוואה תעבוד רק אםk = נπ / ל. לבסוף, אתה יכול להשתמש בעובדה שיש לנרמל את פונקציית הגל כדי למצוא את הערך שלא(להשתלב בכל האפשרויותאיקסערכים, כלומר מ- 0 עדלואז הגדר את התוצאה שווה ל -1 וסדר מחדש), כדי להגיע לביטוי הסופי:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
באמצעות המשוואה המקורית ותוצאה זו, תוכל לפתור את הבעיהה, שמניב:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
שים לב שהעובדה שנהוא בביטוי זה פירושו שרמות האנרגיה הןלכמת, כך שהם לא יכולים לקחתכלערך, אך רק קבוצה נפרדת של ערכי רמת אנרגיה ספציפיים, תלוי במסת החלקיק ובאורך התיבה.
חלקיק בקופסה (באר כיכר סופית)
אותה בעיה מסתבכת מעט יותר אם לבאר הפוטנציאל יש גובה קיר סופי. למשל, אם הפוטנציאלו (איקס) לוקח את הערךו0 מחוץ לבאר הפוטנציאלית ו -0 בתוכה, ניתן לקבוע את פונקציית הגל בשלושת האזורים העיקריים המכוסים על ידי הבעיה. זהו תהליך מעורב יותר, אם כי, אז כאן תוכל לראות רק את התוצאות ולא לעבור את התהליך כולו.
אם הבאר נמצאתאיקס= 0 עדאיקס = לשוב, לאזור שבואיקס<0 הפיתרון הוא:
Ψ (x) = היה ^ {kx}
לאזוראיקס > ל, זה:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
איפה
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
לאזור בתוך הבאר, שם 0 <איקס < ל, הפיתרון הכללי הוא:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
איפה
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
לאחר מכן תוכל להשתמש בתנאי הגבול כדי לקבוע את ערכי הקבועיםא, ב, גוד, וציין כי כמו שיש ערכים מוגדרים בקירות הבאר, פונקציית הגל ונגזרתו הראשונה צריכה להיות רציפה בכל מקום, ופונקציית הגל צריכה להיות סופית בכל מקום.
במקרים אחרים, כגון קופסאות רדודות, קופסאות צרות ומצבים ספציפיים רבים אחרים, ישנם קירובים ופתרונות שונים שתוכלו למצוא.