כיצד לחשב שילובים ותמורות

נניח שיש לך n סוגים של פריטים, ואתה רוצה לבחור אוסף של r מהם. אולי נרצה את הפריטים האלה בסדר מסוים כלשהו. אנו מכנים קבוצות פריטים אלה תמורות. אם ההזמנה לא משנה, אנו קוראים למכלול שילובי האוספים. עבור שילובים ופרמוטציות כאחד, אתה יכול לשקול את המקרה שבו אתה בוחר כמה מסוגים יותר מ- פעם אחת, אשר נקרא 'עם חזרה', או המקרה בו אתה בוחר כל סוג פעם אחת בלבד, אשר נקרא 'לא חזרה'. המטרה היא להיות מסוגלים לספור את מספר הצירופים או התמורות האפשריים במצב נתון.

פונקציית הפקטוריאל משמשת לעתים קרובות בעת חישוב צירופים ותמורות. N! פירושו N × (N – 1) ×... × 2 × 1. לדוגמא, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. מספר הדרכים להזמין סט פריטים הוא עובדתי. קח את שלוש האותיות a, b ו- c. יש לך שלוש אפשרויות לאות הראשונה, שתיים לשנייה ורק אחת לשלישית. במילים אחרות, סך הכל 3 × 2 × 1 = 6 הזמנות. באופן כללי, יש n! דרכים להזמין n פריטים.

נניח שיש לך שלושה חדרים שאתה הולך לצייר, וכל אחד מהם יצויר באחד מחמישה צבעים: אדום (r), ירוק (g), כחול (b), צהוב (y) או כתום (o). אתה יכול לבחור כל צבע כמה פעמים שתרצה. יש לך חמישה צבעים לבחירה לחדר הראשון, חמישה לשני וחמישה לשלישי. זה נותן בסך הכל 5 × 5 × 5 = 125 אפשרויות. באופן כללי, מספר הדרכים לבחור קבוצה של פריטי r בסדר מסוים מבין אפשרויות שניתן לחזור עליהן הוא n ^ r.

עכשיו נניח שכל חדר יהיה בצבע אחר. אתה יכול לבחור מתוך חמישה צבעים לחדר הראשון, ארבעה לשני ורק שלושה לשלישי. זה נותן 5 × 4 × 3 = 60, שזה במקרה 5! / 2!. באופן כללי, מספר הדרכים העצמאיות לבחירת r פריטים בסדר מסוים מבין אפשרויות שאינן ניתנות לחזרה הוא n! / (N – r) !.

לאחר מכן, תשכחו מאיזה חדר הוא איזה צבע. פשוט בחר שלושה צבעים עצמאיים עבור ערכת הצבעים. הסדר לא משנה כאן, ולכן (אדום, ירוק, כחול) זהה לזה (אדום, כחול, ירוק). לכל בחירה של שלושה צבעים ישנם 3! דרכים בהן תוכלו להזמין אותם. אז אתה מצמצם את מספר התמורות ב -3! להשיג 5! / (2! × 3!) = 10. באופן כללי, אתה יכול לבחור קבוצה של פריטי r בכל סדר שהוא מתוך מבחר n אפשרויות שלא ניתן לחזור עליהן בדרכים n! / [(N – r)! × r!].

לבסוף, עליכם ליצור ערכת צבעים בה תוכלו להשתמש בכל צבע כמה פעמים שתרצו. קוד הנהלת חשבונות חכם עוזר למשימת הספירה הזו. השתמש בשלושה איקסים לייצוג החדרים. רשימת הצבעים שלך מיוצגת על ידי 'rgbyo'. ערבב את ה- X לרשימת הצבעים שלך ושייך כל X לצבע הראשון משמאל לו. למשל, rgXXbyXo פירושו שהחדר הראשון הוא ירוק, השני הוא ירוק והשלישי הוא צהוב. X חייב לכלול לפחות צבע אחד משמאל, ולכן יש חמש משבצות זמינות עבור ה- X הראשון. מכיוון שהרשימה כוללת כעת X, ישנם שישה חריצים זמינים עבור ה- X השני ושבעה משבצות זמינים עבור ה- X השלישי. בסך הכל יש 5 × 6 × 7 = 7! / 4! דרכים לכתוב את הקוד. עם זאת, סדר החדרים הוא שרירותי, כך שיש באמת רק 7! / (4! × 3!) סידורים ייחודיים. באופן כללי, אתה יכול לבחור פריטי r בכל סדר שהוא מתוך אפשרויות n חוזרות על עצמם בדרכים (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!].