במתמטיקה, הדדי של מספר הוא המספר שמכפיל את המספר המקורי, מייצר 1. לדוגמא, הדדיות עבור המשתנה x היא 1 /איקס, כי
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
בדוגמה זו, 1 /איקסהיא הזהות ההדדית שלאיקס, ולהיפך. בטריגונומטריה ניתן להגדיר את אחת מהזוויות הלא -90 מעלות במשולש ימין על ידי יחסים הנקראים סינוס, קוסינוס ומשיק. על פי תפיסת הזהויות ההדדיות, מתמטיקאים מגדירים שלושה יחסים נוספים. שמותיהם קוסנטיים, סיקנטיים וקוטנגנטיים. Cosecant הוא זהות הדדית של סינוס, חסוי זה של קוסינוס ו cotangent זה של משיק.
כיצד לקבוע זהויות הדדיות
שקול זוויתθ, שהיא אחת משתי הזוויות שאינן 90 מעלות במשולש ימין. אם אורך צלע המשולש שממול לזווית הוא "ב, "אורך הצד הסמוך לזווית ומול ההיפוטנוסים הוא"א"ואורך ההיפוטנוזה הוא"ר, "אנו יכולים להגדיר את שלושת היחסים הטריגונומטריים העיקריים במונחים של אורכים אלה.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosine} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
הזהות ההדדית של החטאθחייב להיות שווה ל- 1 / sin θ, מכיוון שזה המספר שכאשר מוכפל בחטא
θ, מייצר 1. הדבר נכון גם לגבי cosθושיזוףθ. מתמטיקאים מעניקים לגומלין אלה את השמות cosecant, secant ו- cotangent בהתאמה. לפי הגדרה:\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {cotangent} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
אתה יכול להגדיר זהויות הדדיות אלה במונחים של אורכי צידי המשולש הימני באופן הבא:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
היחסים הבאים נכונים לכל זווית שהיאθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
שתי זהויות טריגונומטריות אחרות
אם אתה יודע את הסינוס והקוסינוס של זווית, אתה יכול להפיק את המשיק. זה נכון בגלל
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {and} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, so} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
מכיוון שזו ההגדרה של שיזוף θ, הזהות הבאה, המכונה זהות המנה, נובעת מכך:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
הזהות הפיתגוראית נובעת מהעובדה, עבור כל משולש נכון עם צלעותאובוהיפוטנוזהרנכון הדבר:א2 + ב2 = ר2. סידור מחדש של מונחים והגדרת יחסים במונחים של סינוס וקוסינוס, מגיעים לביטוי הבא:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
שני יחסים חשובים נוספים מתרחשים כאשר אתה מכניס זהויות הדדיות לסינוס וקוסינוס בביטוי לעיל:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ