מהן זהות חצי זוויתית?

סקירת זהויות חצי זווית

\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}

\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}

\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ

\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ

דוגמה לשימוש בזהויות חצי זוויתיות

דמיין שאתה מתבקש למצוא את סינוס הזווית 15 מעלות. זו לא אחת מהזוויות שרוב התלמידים ישנן בעל פה את הערכים של פונקציות הטריג. אבל אם אתה נותן ל- 15 מעלות להיות שווה ל- θ / 2 ואז לפתור עבור θ, תגלה כי:

\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30

מכיוון ש- resulting המתקבל, 30 מעלות, הוא זווית מוכרת יותר, שימוש בנוסחה של חצי זווית כאן יעזור לך.

מכיוון שהתבקשת למצוא את הסינוס, יש באמת רק נוסחה אחת של חצי זווית לבחירה:

\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}

מחליף בθ/ 2 = 15 מעלות וθ= 30 מעלות נותן לך:

\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}

אם היית מתבקש למצוא את המשיק או הקוטנגנס, ששניהם מחצבים דרכים להביע את זהותם של חצי הזווית, פשוט תבחר בגרסה שנראית הכי קלה לעבודה.

הסימן ± בתחילתן של כמה זהויות בחצי זווית פירושו שהשורש המדובר יכול להיות חיובי או שלילי. אתה יכול לפתור עמימות זו באמצעות הידע שלך לגבי פונקציות טריגונומטריות ברביעים. להלן סיכום מהיר של פונקציות הטריג החוזרותחִיוּבִיערכים בהם רביעים:

• רבעון I: כל פונקציות הטריג
  
• רבעון שני: רק סינוס וקוסנט
• רבע השלישי: רק משיק ונגוע
• רבע הרביעי: רק קוסינוס ופרש

מכיוון שבמקרה זה הזווית שלך θ מייצגת 30 מעלות, אשר נופלת ברבעון I, אתה יודע שערך הסינוס שהוא מחזיר יהיה חיובי. אז אתה יכול להוריד את הסימן ± ופשוט להעריך:

\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}

החלף בערך המוכר והידוע של cos (30). במקרה זה, השתמש בערכים המדויקים (בניגוד לקירובים עשרוניים מתרשים):

\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}

לאחר מכן, פשט את הצד הימני של המשוואה שלך כדי למצוא ערך לחטא (15). התחל על ידי הכפלת הביטוי תחת הרדיקל ב- 2/2, מה שמקנה לך:

\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}

זה מפשט ל:

\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}

לאחר מכן תוכל לפשט את השורש הריבועי של 4:

\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}

ברוב המקרים זה בערך ככל שתפשט. למרות שהתוצאה לא יכולה להיות יפה במיוחד, תרגמת את הסינוס של זווית לא מוכרת לכמות מדויקת.