כיצד להסביר סוגים שונים של הוכחות בגיאומטריה

נודה בזה: הוכחות אינן קלות. ובגיאומטריה נראה שהדברים מחמירים, שכן כעת עליכם להפוך תמונות לאמירות הגיוניות, ולהסיק מסקנות על סמך רישומים פשוטים. סוגים שונים של הוכחות שאתה לומד בבית הספר יכולים להיות מכריע בהתחלה. אבל ברגע שאתה מבין כל סוג, יהיה לך הרבה יותר קל לעטוף את הראש מתי ולמה להשתמש בסוגים שונים של הוכחות בגיאומטריה.

ההוכחה הישירה עובדת כמו חץ. אתה מתחיל במידע שניתן ובונה עליו ומתקדם לכיוון ההשערה שאתה רוצה להוכיח. בשימוש בהוכחה הישירה אתה משתמש בהסקות, כללים מגיאומטריה, הגדרות של צורות גיאומטריות והגיון מתמטי. ההוכחה הישירה היא סוג ההוכחה הסטנדרטי ביותר, ובשביל סטודנטים רבים סגנון ההוכחה לפיתרון בעיה גיאומטרית. לדוגמא, אם אתה יודע שנקודה C היא נקודת האמצע של הקו AB, אתה יכול להוכיח ש- AC = CB על ידי תוך שימוש בהגדרת נקודת האמצע: הנקודה הנופלת מרחק שווה מכל קצה הקו מִגזָר. זה עובד על הגדרת נקודת האמצע ונחשבת כהוכחה ישירה.

ההוכחה העקיפה היא כמו בומרנג; זה מאפשר לך להפוך את הבעיה. במקום לעבוד רק על ההצהרות והצורות שאתה מקבל, אתה משנה את הבעיה על ידי לקיחת ההצהרה שאתה רוצה להוכיח ובהנחה שהיא לא נכונה. משם אתה מראה שזה לא יכול להיות לא נכון, וזה מספיק כדי להוכיח שזה נכון. למרות שזה נשמע מבלבל, זה יכול לפשט הוכחות רבות שנראות שקשה להוכיח באמצעות הוכחה ישירה. לדוגמא, דמיין שיש לך קו אופקי AC שעובר בנקודה B, ובנקודה B הוא קו הניצב ל AC עם נקודת הקצה D, הנקרא קו BD. אם ברצונך להוכיח כי מידת הזווית ABD היא 90 מעלות, תוכל להתחיל ולבחון מה משמעות הדבר אם מידת ABD לא הייתה 90 מעלות. זה יוביל אותך לשתי מסקנות בלתי אפשריות: AC ו- BD אינם בניצב ו- AC אינו קו. אך שני אלה היו עובדות שנאמרו בבעיה, שהיא סותרת. זה מספיק כדי להוכיח ש- ABD הוא 90 מעלות.

לפעמים אתה נתקל בבעיה שמבקשת ממך להוכיח שמשהו לא נכון. במקרה כזה, אתה יכול להשתמש בלוח השיגור כדי לפוצץ את עצמך מהצורך להתמודד ישירות עם הבעיה, במקום לספק דוגמה נגדית כדי להראות כיצד משהו לא נכון. כאשר אתה משתמש בדוגמה נגדית, אתה זקוק רק לדוגמא נגדית טובה אחת כדי להוכיח את נקודתך, וההוכחה תהיה תקפה. לדוגמה, אם אתה צריך לאמת או לבטל את ההצהרה "כל הטרפז הם מקביליות", עליך רק לספק דוגמה אחת לטרפז שאינו מקבילית. אתה יכול לעשות זאת על ידי ציור טרפז עם שני צדדים מקבילים בלבד. קיום הצורה שציירת זה עתה יביא להפריך את ההצהרה "כל הטרפזים הם מקביליות."

כמו שגיאומטריה היא מתמטיקה חזותית, תרשים הזרימה, או הוכחת הזרימה, הוא סוג חזותי של הוכחה. בהוכחת זרימה, אתה מתחיל לרשום או לצייר את כל המידע שאתה מכיר אחד ליד השני. מכאן, הסיקו וכתבו אותם בשורה למטה. בעשותך זאת, אתה "מערם" את המידע שלך, ויוצר משהו כמו פירמידה הפוכה. אתה משתמש במידע שיש לך כדי להסיק יותר בשורות שלמטה עד שתגיע לתחתית, אמירה אחת שמוכיחה את הבעיה. לדוגמא, ייתכן שיש לך קו L החוצה את הנקודה P של הקו MN, והשאלה מבקשת ממך להוכיח MP = PN בהתחשב בכך ש- L חוצה MN. אתה יכול להתחיל לכתוב את המידע הנתון, ולכתוב "L bisects MN at P" למעלה. מתחתיה, כתוב את המידע הנובע מהמידע הנתון: חיתוכים מייצרים שני קטעים תואמים של קו. לצד הצהרה זו, כתוב עובדה גיאומטרית שתעזור לך להגיע להוכחה; לבעיה זו העובדה שקטעי קו תואמים זהים באורכם עוזרת. כתוב את זה. מתחת לשתי פיסות המידע הללו, תוכלו לכתוב את המסקנה, שבאופן טבעי להלן: MP = PN.