אם אתה רואה את הביטויים 32 ו -53, אתה יכול להכריז בפריחה שמשמעותם "שלוש בריבוע" ו"חמש קוביות "ותוכל ללכת למצוא מספרים מקבילים בלי מעריכים, המספרים המיוצגים על ידי כתבי העל העליונים בפינה הימנית העליונה למעלה. המספרים הללו במקרה זה הם 9 ו -125.
אבל מה אם במקום לומר נגיד פונקציה אקספוננציאלית פשוטה כמו y = x 3במקום זאת עליכם לפתור משוואה כמו y = 3איקס. כאן x, המשתנה התלוי, מופיע כמעריך. האם יש דרך למשוך את המשתנה למטה מן המוט שלו להתמודד איתו ביתר קלות מתמטית?
למעשה יש, והתשובה נעוצה בהשלמה הטבעית של מעריכים, שהם כמויות מהנות ומועילות המכונות לוגריתמים.
מהם מעריצים?
An מַעֲרִיך, נקרא גם a כּוֹחַ, היא דרך דחוסה לביטוי כפל חוזר של מספר בפני עצמו. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- כל מספר שמוגדל בכוח 1 שומר על אותו ערך; כל מספר עם אקספוננט של 0 שווה ל- 1. לדוגמא, 721 = 72; 720 = 1.
מעריצים יכולים להיות שליליים, לייצר את הקשר איקס−n= 1 / (xנ). הם יכולים לבוא לידי ביטוי גם כשברים, למשל, 2(5/3). אם הם מבוטאים כשברים, גם המונה וגם המכנה חייבים להיות מספרים שלמים.
מה הם לוגריתמים?
ניתן לראות בלוגריתמים, או "יומנים", כמעריכים המתבטאים כמשהו שאינו כוח. זה כנראה לא עוזר הרבה, אז אולי דוגמה או שתיים יעשו זאת.
בביטוי 103 = 1,000, המספר 10 הוא בסיס, והוא מועלה לכוח השלישי (או כוח של שְׁלוֹשָׁה). אתה יכול לבטא זאת כ"בסיס של 10 שהועלה לכוח השלישי שווה ל -1,000 ".
דוגמה לוגריתם היא עֵץ10(1,000) = 3. שים לב שהמספרים והקשרים שלהם זה לזה כמו בדוגמה הקודמת, אך הם הועברו סביבם. במילים, זה אומר, "בסיס היומן 10 של 1,000 שווה ל- 3."
הכמות בצד ימין היא הכוח שאליו צריך להעלות את הבסיס של 10 כדי להיות שווה ל- טַעֲנָה, או קלט של היומן, הערך בסוגריים (במקרה זה 1,000). ערך זה צריך להיות חיובי, מכיוון שהבסיס - שיכול להיות מספר שאינו 10, אך הוא הניח שהוא 10 כשהוא מושמט, למשל, "יומן 4" - הוא גם תמיד חיובי.
כללי לוגריתם מועילים
אז איך אתה יכול לעבוד בקלות בין יומנים ומעריכים? כמה כללים לגבי התנהגות יומנים יכולים להתחיל בבעיות מעריכיות.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
פתרון לאקספוננט
עם המידע הנ"ל, אתה מוכן לנסות לפתור עבור מעריך במשוואה.
דוגמה: אם 50 = 4איקס, מה זה x?
אם אתה לוקח את היומן לבסיס 10 של כל צד ומשמיט את הזיהוי המפורש של הבסיס, זה הופך ליומן 50 = יומן 4איקס. מהתיבה שלמעלה אתה יודע כי יומן 4איקס = x יומן 4. זה משאיר אותך עם
יומן 50 = x יומן 4, או x = (יומן 50) / (יומן 4).
באמצעות המחשבון או המכשיר האלקטרוני שבחרת, אתה מגלה שהפתרון הוא (1.689 / 0.602) = 2.82.
פתרון משוואות אקספוננציאליות עם ה
אותם כללים חלים כאשר הבסיס נמצא ה, מה שנקרא לוגריתם טבעי, שערכו בערך 2.7183. אתה צריך שיהיה לך כפתור לכך גם במחשבון שלך. ערך זה מקבל גם סימון משלו: logהx נכתב בפשטות "ln x."
- הפונקציה y = האיקס אני, עם e לא משתנה אלא קבוע עם ערך זה, הוא הפונקציה היחידה עם שיפוע השווה לגובה שלו לכל x ו- y.
- בדיוק כמו יומן1010איקס = x, ln eאיקס = x לכל x.
דוגמא: פתור את המשוואה 16 = e2.7x.
כאמור לעיל, ln 16 = ln e2.7x = 2.7x.
ln 16 = 2.77 = 2.7x, אז x = 2/77 / 2.7 = 1.03.