שורשים מרובעים נמצאים לעתים קרובות בבעיות מתמטיקה ומדעיות, וכל תלמיד צריך לאסוף את היסודות של שורשים מרובעים כדי להתמודד עם שאלות אלה. שורשים ריבועיים שואלים "איזה מספר, כשהוא מוכפל בעצמו, נותן את התוצאה הבאה", וככזה כדי לעבד אותם דורש ממך לחשוב על מספרים בצורה קצת אחרת. עם זאת, תוכלו להבין בקלות את כללי השורשים הריבועיים ולענות על כל השאלות הכרוכות בהם, בין אם הם דורשים חישוב ישיר או פשוט פשט.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
שורש ריבועי שואל אותך איזה מספר, כאשר מוכפל בעצמו, נותן את התוצאה אחרי הסמל √. אז √9 = 3 ו- √16 = 4. מבחינה טכנית לכל שורש יש תשובה חיובית ושלילית, אך ברוב המקרים התשובה החיובית היא התשובה שתעניין אותך.
אתה יכול לפקח על שורשים מרובעים בדיוק כמו מספרים רגילים, אז √ab = √א √ב, או √6 = √2√3.
מהו שורש מרובע?
שורשים מרובעים הם ההפך מ"ריבוע "מספר, או מכפלתו בפני עצמה. לדוגמה, שלושה בריבוע הם תשע (32 = 9), כך שהשורש הריבועי של תשע הוא שלושה. בסמלים זה
\ sqrt {9} = 3
סמל "√" אומר לך לקחת את השורש הריבועי של מספר, ואתה יכול למצוא את זה ברוב המחשבונים.
זכרו שלכל מספר יששתייםשורשים ריבועיים. שלוש מוכפלות בשלוש שוות תשע, אך שלילית שלוש מוכפלת בשלילה שלוש שווה לתשע, כך
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ טקסט {ו} \ sqrt {9} = ± 3
כאשר ± עומד על "פלוס מינוס". במקרים רבים ניתן להתעלם משורשי הריבוע השליליים של המספרים, אך לעיתים חשוב לזכור שלכל מספר שני שורשים.
יתכן שתתבקש לקחת את "שורש הקוביה" או "השורש הרביעי" של מספר. שורש הקוביה הוא המספר שכאשר מוכפל בעצמו פעמיים, שווה למספר המקורי. השורש הרביעי הוא המספר שכאשר מוכפל בעצמו שלוש פעמים שווה למספר המקורי. כמו שורשים מרובעים, אלה הם בדיוק ההפך מלקיחת כוח המספרים. אז, 33 = 27, וזה אומר ששורש הקוביה של 27 הוא 3, או
\ sqrt [3] {27} = 3
סמל "∛" מייצג את שורש הקוביה של המספר שבא אחריו. שורשים מתבטאים לעיתים גם ככוחות חלקיים, כך
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {and} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
פישוט שורשים מרובעים
אחת המשימות המאתגרות ביותר שתצטרך לבצע עם שורשים מרובעים היא פשט שורשים גדולים, אבל אתה רק צריך לעקוב אחר כמה כללים פשוטים כדי להתמודד עם שאלות אלה. אתה יכול לפקח על שורשים מרובעים באותו אופן שבו אתה גורם למספרים רגילים. אז למשל 6 = 2 × 3, כך
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
פשט שורשים גדולים יותר פירושו לקחת את הפקטוריזציה שלב אחר שלב ולזכור את ההגדרה של שורש ריבועי. לדוגמה, √132 הוא שורש גדול, וייתכן שקשה לראות מה לעשות. עם זאת, אתה יכול בקלות לראות את זה מתחלק ב -2, כך שתוכל לכתוב
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
עם זאת, ניתן לחלק את 66 גם ב -2, כך שתוכל לכתוב:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
במקרה זה, שורש ריבועי של מספר כפול שורש ריבוע אחר רק נותן את המספר המקורי (בגלל ההגדרה של שורש ריבועי), אז
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
בקיצור, ניתן לפשט שורשים מרובעים באמצעות הכללים הבאים
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
מהו שורש הריבוע ...
באמצעות ההגדרות והכללים שלמעלה, אתה יכול למצוא את השורשים הריבועיים של רוב המספרים. להלן מספר דוגמאות שיש לקחת בחשבון.
השורש הריבועי של 8
לא ניתן למצוא זאת ישירות מכיוון שזה לא השורש הריבועי של מספר שלם. עם זאת, השימוש בכללים לפשט נותן:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
השורש הריבועי של 4
זה עושה שימוש בשורש הריבועי הפשוט של 4, שהוא √4 = 2. ניתן לפתור את הבעיה בדיוק באמצעות מחשבון, ו- √8 = 2.8284 ...
השורש הריבועי של 12
בעזרת אותה גישה נסה לעבד את השורש הריבועי של 12. פצל את השורש לגורמים ואז בדוק אם תוכל לחלק אותו לגורמים שוב. נסה זאת כבעיית תרגול ואז בדוק את הפיתרון להלן:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
שוב, ניתן להשתמש בביטוי פשוט זה בבעיות לפי הצורך, או לחשב במדויק באמצעות מחשבון. מחשבון מראה זאת
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641 ...
השורש הריבועי של 20
את השורש הריבועי של 20 ניתן למצוא באותו אופן:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
השורש הריבועי של 32
לבסוף, התמודד עם השורש הריבועי של 32 באמצעות אותה גישה:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
כאן, שים לב שכבר חישבנו את השורש הריבועי של 8 כ- 2√2, וכי √4 = 2, אז:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5.657 ...
שורש מרובע של מספר שלילי
למרות שההגדרה של שורש ריבועי פירושה שלמספרים שליליים לא צריך להיות שורש ריבועי (כי כל מספר שהוכפל כשלעצמו נותן מספר חיובי כתוצאה מכך), מתמטיקאים נתקלו בהם כחלק מבעיות באלגברה והגה פִּתָרוֹן. המספר "הדמיוני"אנימשמש כמשמעותו "השורש הריבועי של מינוס 1" וכל שורש שלילי אחר מתבטא בכפולות שלאני. כך
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
בעיות אלה מאתגרות יותר, אך ניתן ללמוד לפתור אותן על סמך ההגדרה שלאניוכללי התקן לשורשים.
שאלות ותשובות לדוגמא
בדוק את הבנת שורשי הריבוע שלך על ידי פשט לפי הצורך ואז חישוב השורשים הבאים:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
נסה לפתור את אלה לפני שתסתכל על התשובות למטה:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196