המרחק האוקלידי הוא המרחק בין שתי נקודות במרחב האוקלידי. המרחב האוקלידי תוכנן במקור על ידי המתמטיקאי היווני אוקלידס בסביבות 300 לפנה"ס. ללמוד את היחסים בין זוויות ומרחקים. מערכת גיאומטריה זו נמצאת בשימוש עד היום והיא זו שלומדים לעתים קרובות תלמידי תיכון. הגיאומטריה האוקלידית חלה במיוחד על רווחים דו-ממדיים. עם זאת, ניתן להכליל אותו בקלות לממדים מסדר גבוה יותר.
חישוב המרחק האוקלידי למימד אחד. המרחק בין שתי נקודות בממד אחד הוא פשוט הערך המוחלט של ההבדל בין הקואורדינטות שלהן. מתמטית, זה מוצג כ- p1 - q1 | כאשר p1 הוא הקואורדינטה הראשונה של הנקודה הראשונה ו- q1 היא הקואורדינטה הראשונה של הנקודה השנייה. אנו משתמשים בערך המוחלט של הבדל זה מכיוון שמרחק נחשב בדרך כלל לבעל ערך לא שלילי בלבד.
קח שתי נקודות P ו- Q במרחב אוקלידי דו ממדי. נתאר P עם הקואורדינטות (p1, p2) ו- Q עם הקואורדינטות (q1, q2). כעת בנה קטע קו עם נקודות הקצה של P ו- Q. קטע קו זה יהווה את המשכן של משולש ימני. בהרחבת התוצאות שהושגו בשלב 1 נציין כי אורכי רגליו של משולש זה ניתנים על ידי | p1 - q1 | ו- | p2 - q2 |. המרחק בין שתי הנקודות יינתן אז כאורך ההיפוטנוזה.
השתמש במשפט פיתגורס כדי לקבוע את אורך ההיפוטנוזה בשלב 2. משפט זה קובע כי c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 כאשר c הוא אורך ההיפוטנוזה של המשולש הימני ו- a, b הם אורכם של שתי הרגליים האחרות. זה נותן לנו c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). המרחק בין 2 נקודות P = (p1, p2) ו- Q = (q1, q2) במרחב דו-ממדי הוא לכן ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
הרחב את התוצאות של שלב 3 למרחב תלת מימדי. המרחק בין נקודות P = (p1, p2, p3) ו- Q = (q1, q2, q3) יכול להינתן כ ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
הכלל את הפתרון בשלב 4 למרחק בין שתי נקודות P = (p1, p2,..., pn) ו- Q = (q1, q2,..., qn) במידות n. ניתן לתת פיתרון כללי זה כ ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).