Immagina di trovarti nel mezzo di un'arena perfettamente circolare. Guardi verso la folla lungo i lati dell'arena e vedi il tuo migliore amico in un posto e il tuo insegnante di matematica della scuola media un paio di sezioni più in là. Qual è la distanza tra loro e te? Quanto lontano dovresti camminare per viaggiare dal posto del tuo amico al posto del tuo insegnante? Quali sono le misure degli angoli tra di voi? Queste sono tutte domande relative agli angoli centrali.
UN angolo al centro è l'angolo che si forma quando si tracciano due raggi dal centro del cerchio ai suoi bordi. In questo esempio, i due raggi sono le tue due linee di vista da te, al centro dell'arena, al tuo amico, e la tua linea di vista al tuo insegnante. L'angolo che si forma tra queste due linee è l'angolo centrale. È l'angolo più vicino al centro del cerchio.
Il tuo amico e il tuo insegnante sono seduti lungo il circonferenza o i bordi del cerchio. Il percorso lungo l'arena che li collega è an arco.
Trova l'angolo centrale dalla lunghezza dell'arco e dalla circonferenza
Ci sono un paio di equazioni che puoi usare per trovare l'angolo centrale. A volte avrai il lunghezza dell'arco, la distanza lungo la circonferenza tra due punti. (Nell'esempio, questa è la distanza che dovresti percorrere intorno all'arena per andare dal tuo amico al tuo insegnante.) La relazione tra l'angolo centrale e la lunghezza dell'arco è:
(lunghezza dell'arco) ÷ circonferenza = (angolo al centro) ÷ 360°
L'angolo al centro sarà in gradi.
Questa formula ha senso, se ci pensi. La lunghezza dell'arco rispetto alla lunghezza totale attorno al cerchio (circonferenza) è la stessa proporzione dell'angolo dell'arco rispetto all'angolo totale in un cerchio (360 gradi).
Per usare efficacemente questa equazione, devi conoscere la circonferenza del cerchio. Ma puoi anche usare questa formula per trovare la lunghezza dell'arco se conosci l'angolo al centro e la circonferenza. Oppure, se hai la lunghezza dell'arco e l'angolo al centro, puoi trovare la circonferenza!
Trova l'angolo centrale dalla lunghezza dell'arco e dal raggio
Puoi anche usare il raggio del cerchio e la lunghezza dell'arco per trovare l'angolo centrale. Chiama la misura dell'angolo al centro. Poi:
= s÷ r, dove s è la lunghezza dell'arco e r è il raggio. si misura in radianti.
Di nuovo, puoi riorganizzare questa equazione in base alle informazioni che hai. Puoi trovare la lunghezza dell'arco dal raggio e dall'angolo al centro. Oppure puoi trovare il raggio se hai l'angolo al centro e la lunghezza dell'arco.
Se vuoi la lunghezza dell'arco, l'equazione è simile a questa:
s =* r, dove s è la lunghezza dell'arco, r è il raggio e è l'angolo al centro in radianti.
Il teorema dell'angolo centrale
Aggiungiamo una svolta al tuo esempio in cui sei nell'arena con il tuo vicino e il tuo insegnante. Ora c'è una terza persona che conosci nell'arena: il tuo vicino di casa. E un'altra cosa: sono dietro di te. Devi voltarti per vederli.
Il tuo vicino è all'incirca dall'altra parte dell'arena rispetto al tuo amico e al tuo insegnante. Dal punto di vista del tuo vicino, c'è un angolo formato dalla loro linea di vista verso l'amico e la loro linea di vista verso l'insegnante. Si chiama angolo inscritto. Un angolo inscritto è un angolo formato da tre punti lungo la circonferenza di un cerchio.
Il teorema dell'angolo centrale spiega la relazione tra la dimensione dell'angolo centrale, formato da te, e l'angolo inscritto, formato dal tuo vicino. Il Teorema dell'angolo centrale afferma che l'angolo al centro è il doppio dell'angolo inscritto. (Questo presuppone che tu stia utilizzando gli stessi endpoint. State entrambi guardando l'insegnante e l'amico, non nessun altro).
Ecco un altro modo per scriverlo. Chiamiamo il posto A del tuo amico, il posto B del tuo insegnante e il posto C del tuo vicino. Tu, al centro, puoi essere O.
Quindi, per tre punti A, B e C lungo la circonferenza di un cerchio e il punto O al centro, l'angolo al centro ∠AOC è il doppio dell'angolo inscritto ∠ABC.
Questo è, ∠AOC = 2∠ABC.
Questo ha un senso. Sei più vicino all'amico e all'insegnante, quindi a te sembrano più distanti (un angolo più ampio). Al tuo vicino dall'altra parte dello stadio, sembrano molto più vicini (un angolo più piccolo).
Eccezione al teorema dell'angolo centrale
Ora spostiamo le cose. Il tuo vicino dall'altra parte dell'arena inizia a muoversi! Hanno ancora una linea di vista verso l'amico e l'insegnante, ma le linee e gli angoli continuano a cambiare mentre il vicino si muove. Indovina un po': finché il vicino rimane fuori dall'arco tra l'amico e il vicino, il teorema dell'angolo centrale è ancora valido!
Ma cosa succede quando il vicino si muove? fra l'amico e l'insegnante? Ora il tuo vicino è dentro arco minore, la distanza relativamente piccola tra l'amico e l'insegnante rispetto alla distanza maggiore intorno al resto dell'arena. Quindi raggiungi un'eccezione al teorema dell'angolo centrale.
Il eccezione al teorema dell'angolo centrale afferma che quando il punto C, il vicino, è all'interno dell'arco minore, l'angolo inscritto è il supplemento di metà dell'angolo centrale. (Ricorda che un angolo e il suo supplemento aggiungere a 180 gradi.)
Così: angolo inscritto = 180 - (angolo al centro ÷ 2)
O: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualizzare
Math Open Reference ha uno strumento per visualizzare il teorema dell'angolo centrale e la sua eccezione. Puoi trascinare il "vicino" in tutte le diverse parti del cerchio e guardare gli angoli cambiare. Provalo se vuoi una pratica visiva o extra!