Supponiamo che tu abbia una funzione, y = f (x), dove y è una funzione di x. Non importa quale sia la relazione specifica. Potrebbe essere y = x^2, per esempio, una semplice e familiare parabola passante per l'origine. Potrebbe essere y = x^2 + 1, una parabola con forma identica e vertice un'unità sopra l'origine. Potrebbe essere una funzione più complessa, come y = x^3. Indipendentemente da quale sia la funzione, una linea retta che passa per due punti qualsiasi della curva è una linea secante.
Prendi i valori x e y per due punti che sai essere sulla curva. I punti sono dati come (valore x, valore y), quindi il punto (0, 1) significa il punto sul piano cartesiano dove x = 0 e y = 1. La curva y = x^2 + 1 contiene il punto (0, 1). Contiene anche il punto (2, 5). Puoi confermarlo inserendo ciascuna coppia di valori per x e y nell'equazione e assicurandoti che l'equazione sia bilanciata entrambe le volte: 1 = 0 + 1, 5 = 2^2 + 1. Sia (0, 1) che (2, 5) sono punti della curva y = x^2 +1. Una linea retta tra di loro è una secante e anche (0, 1) e (2, 5) faranno parte di questa retta.
Determina l'equazione per la retta passante per entrambi questi punti scegliendo valori che soddisfano l'equazione y = mx + b - l'equazione generale per qualsiasi retta - per entrambi i punti. Sai già che y = 1 quando x è 0. Ciò significa 1 = 0 + b. Quindi b deve essere uguale a 1.
Sostituisci i valori di x e y nel secondo punto nell'equazione y = mx + b. Conosci y = 5 quando x = 2 e conosci b = 1. Questo ti dà 5 = m (2) + 1. Quindi m deve essere uguale a 2. Ora conosci sia m che b. La linea secante tra (0, 1) e (2, 5) è y = 2x + 1
Scegli una coppia diversa di punti sulla curva e puoi determinare una nuova linea secante. Sulla stessa curva, y = x^2 + 1, puoi prendere il punto (0, 1) come hai fatto prima, ma questa volta seleziona (1, 2) come secondo punto. Metti (1, 2) nell'equazione per la curva e ottieni 2 = 1^2 + 1, che è ovviamente corretto, quindi sai che anche (1, 2) è sulla stessa curva. La linea secante tra questi due punti è y = mx + b: mettendo 0 e 1 in x e y, otterrai: 1 = m (0) + b, quindi b è ancora uguale a uno. Inserendo il valore per il nuovo punto, (1, 2) si ottiene 2 = mx + 1, che bilancia se m è uguale a 1. L'equazione per la linea secante tra (0, 1) e (1, 2) è y = x + 1.
Riferimenti
- Università della California, Santa Barbara: linee secanti, linee tangenti e definizione limite di una derivata.
- Wolfram Math World: Linea Secante
Suggerimenti
- Notare che la linea secante cambia quando si seleziona un secondo punto più vicino al primo punto. Puoi sempre scegliere un punto sulla curva più vicino di prima e ottenere una nuova linea secante. Man mano che il tuo secondo punto si avvicina sempre di più al primo punto, la linea secante tra i due si avvicina alla tangente alla curva nel primo punto.
Circa l'autore
Andrew Breslin scrive professionalmente dal 1994. I suoi articoli e editoriali sono apparsi su "South Florida Sun Sentinel", "St Paul Pioneer Press", "Detroit Free Press", "Charlotte Observer", "Good Medicine" e altri. Ha studiato biologia molecolare alla Westchester University e scrive spesso di scienze e matematica.
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