Una volta che inizi a risolvere equazioni algebriche che coinvolgono polinomi, la capacità di riconoscere forme speciali di polinomi facilmente scomponibili diventa molto utile. Uno dei polinomi "facili" più utili da individuare è il quadrato perfetto, o il trinomio che risulta dalla quadratura di un binomio. Una volta identificato un quadrato perfetto, scomponerlo nei suoi singoli componenti è spesso una parte vitale del processo di risoluzione dei problemi.
Prima di poter fattorizzare un perfetto trinomio quadrato, devi imparare a riconoscerlo. Un quadrato perfetto può assumere una di due forme
a^2 + 2ab + b^2 \text{, che è il prodotto di } (a + b)(a + b) = (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 \text {, che è il prodotto di } (a - b)(a - b) = (a - b)^2
Controlla il primo e il terzo termine del trinomio. Sono entrambi quadrati? Se sì, scopri di cosa sono i quadrati. Ad esempio, nel secondo esempio "mondo reale" sopra riportato:
a^2 - 2a + 1
il terminesì2 è ovviamente il quadrato diy.Il termine 1 è, forse meno ovviamente, il quadrato di 1, perché 1 because2 = 1.
Moltiplica tra loro le radici del primo e del terzo termine. Per continuare l'esempio, questo èsìe 1, che ti dàsì × 1 = 1sìo semplicementesì.
Quindi, moltiplica il tuo prodotto per 2. Continuando l'esempio, hai 2y.
Infine, confronta il risultato dell'ultimo passaggio con il termine medio del polinomio. Corrispondono? Nel polinomiosì2 – 2sì+ 1, lo fanno. (Il segno è irrilevante; sarebbe anche una corrispondenza se il termine medio fosse +2sì.)
Poiché la risposta nel passaggio 1 è stata "sì" e il risultato del passaggio 2 corrisponde al termine medio del polinomio, sai che stai guardando un trinomio quadrato perfetto.
Una volta che sai che stai guardando un trinomio quadrato perfetto, il processo di fattorizzazione è abbastanza semplice.
Individua le radici, o i numeri al quadrato, nel primo e nel terzo termine del trinomio. Considera un altro dei tuoi trinomi di esempio che già sai essere un quadrato perfetto:
x^2 + 8x + 16
Ovviamente il numero al quadrato nel primo termine èX. Il numero al quadrato nel terzo termine è 4, perché 42 = 16.
Ripensa alle formule dei trinomi quadrati perfetti. Sai che i tuoi fattori assumeranno la forma (un + b)(un + b) o la forma (un – b)(un – b), doveunebsono i numeri al quadrato nel primo e nel terzo termine. Quindi puoi scrivere i tuoi fattori in questo modo, omettendo i segni nel mezzo di ogni termine per ora:
(un \,? \,b)(a \,? \,b) = a^2 \,?\, 2ab + b^2
Per continuare l'esempio sostituendo le radici del tuo attuale trinomio, hai:
(x \,?\, 4)(x \, ?\, 4) = x^2 + 8x + 16
Controlla il termine medio del trinomio. Ha un segno positivo o un segno negativo (o, per dirla in altro modo, viene aggiunto o sottratto)? Se ha un segno positivo (o viene aggiunto), allora entrambi i fattori del trinomio hanno un segno più nel mezzo. Se ha un segno negativo (o viene sottratto), entrambi i fattori hanno un segno negativo nel mezzo.
Il termine medio del trinomio di esempio attuale è 8X– è positivo – quindi ora hai scomposto il perfetto trinomio quadrato:
(x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16
Controlla il tuo lavoro moltiplicando i due fattori tra loro. L'applicazione del FOIL o del metodo primo, esterno, interno, ultimo ti dà:
x^2 + 4x + 4x + 16
Semplificando questo dà il risultatoX2 + 8X+ 16, che corrisponde al tuo trinomio. Quindi i fattori sono corretti.