L'algebra segna il primo vero salto concettuale che gli studenti devono fare nel mondo della matematica, imparando a manipolare le variabili ea lavorare con le equazioni. Quando inizi a lavorare con le equazioni, incontrerai alcune sfide comuni tra cui esponenti, frazioni e variabili multiple. Tutti questi possono essere padroneggiati con l'aiuto di alcune strategie di base.
La strategia di base per le equazioni algebriche
La strategia di base per risolvere qualsiasi equazione algebrica consiste nell'isolare prima il termine variabile su un lato dell'equazione, quindi applicare le operazioni inverse necessarie per eliminare eventuali coefficienti o esponenti. Un'operazione inversa "annulla" un'altra operazione; ad esempio, la divisione "annulla" la moltiplicazione di un coefficiente e le radici quadrate "annullano" l'operazione di quadratura di un esponente di seconda potenza.
Si noti che se si applica un'operazione a un lato di un'equazione, è necessario applicare la stessa operazione all'altro lato dell'equazione. Mantenendo questa regola, puoi cambiare il modo in cui i termini di un'equazione sono scritti senza cambiare la loro relazione tra loro.
Risolvere Equazioni Con Esponenti
I tipi di equazioni con esponenti che incontrerai durante il tuo viaggio di algebra potrebbero facilmente riempire un intero libro. Per ora, concentrati sulla padronanza della più elementare delle equazioni dell'esponente, in cui hai un singolo termine variabile con un esponente. Per esempio:
y^2 + 3 = 19
Sottrai 3 da entrambi i membri dell'equazione, lasciando il termine variabile isolato su un lato:
y^2 = 16
Elimina l'esponente dalla variabile applicando un radicale dello stesso indice. Ricorda, devi farlo su entrambi i lati dell'equazione. In questo caso, ciò significa prendere la radice quadrata di entrambi i lati:
\sqrt{y^2} = \sqrt{16}
Che si semplifica in:
y = 4
Risolvere le equazioni con le frazioni
E se la tua equazione implicasse una frazione? Consideriamo l'esempio di
\frac{3}{4}(x + 7) = 6
Se distribuisci la frazione 3/4 tra (X+ 7), le cose possono diventare disordinate velocemente. Ecco una strategia molto più semplice.
Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per il denominatore della frazione. In questo caso, ciò significa moltiplicare entrambi i membri della frazione per 4:
\frac{3}{4}(x + 7) × 4 = 6 × 4
Semplifica entrambi i membri dell'equazione. Questo funziona per:
3(x + 7) = 24
Puoi semplificare di nuovo, ottenendo:
3x + 21 = 24
Sottrai 21 da entrambi i membri, isolando il termine variabile su un lato dell'equazione:
3x = 3
Infine, dividi entrambi i lati dell'equazione per 3 per finire di risolvere perX:
x = 1
Risolvere un'equazione con due variabili
Se haiunoequazione con due variabili, probabilmente ti verrà chiesto di risolvere solo per una di queste variabili. In tal caso segui più o meno la stessa procedura che useresti per qualsiasi equazione algebrica con una variabile. Considera l'esempio
5x + 4 = 2y
se ti viene chiesto di risolvereX.
Sottrarre 3 da ciascun lato dell'equazione, lasciando ilXtermine da solo su un lato del segno di uguale:
5x = 2a - 4
Dividi entrambi i lati dell'equazione per 5 per rimuovere il coefficiente daXtermine:
x = \frac{2y - 4}{5}
Se non ti vengono fornite altre informazioni, questo è il limite che puoi prendere per i calcoli.
Risolvere due equazioni con due variabili
Se ti viene assegnato un sistema (o gruppo) diDueequazioni che contengono le stesse due variabili, questo di solito significa che le equazioni sono correlate e puoi usare una tecnica chiamata sostituzione per trovare i valori per entrambe le variabili. Considera l'equazione dell'ultimo esempio, più una seconda equazione correlata che utilizza le stesse variabili:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Scegli un'equazione e risolvi l'equazione per una delle variabili. In questo caso, usa ciò che già sai della prima equazione dell'esempio precedente, per la quale hai già risoltoX:
x = \frac{2y - 4}{5}
Sostituisci il risultato del passaggio 1 nell'altra equazione. In altre parole, sostituire il valore (2sì– 4)/5 per eventuali istanze diXnell'altra equazione. Questo ti dà un'equazione con una sola variabile:
\frac{2y – 4}{5} + 3y = 23
Semplifica l'equazione del passaggio 2 e risolvi per la variabile rimanente, che in questo caso èy.
Inizia moltiplicando entrambi i membri per 5:
5 × \bigg( \frac{2y - 4}{5} + 3y\bigg) = 5 × 23
Questo semplifica:
2a - 4 + 15a = 115
Dopo aver combinato termini simili, questo si semplifica ulteriormente in:
17y = 119
E infine, dopo aver diviso entrambi i membri per 17, hai:
y = 7
Sostituisci il valore del passaggio 3 nell'equazione del passaggio 1. Questo ti dà:
x = \frac{(2 × 7) - 4}{5}
Il che semplifica rivelare il valore diX:
x = 2
Quindi la soluzione per questo sistema di equazioni èX= 2 esì = 7.