In matematica sorge talvolta la necessità di dimostrare se le funzioni sono dipendenti o indipendenti l'una dall'altra in senso lineare. Se si dispone di due funzioni che sono dipendenti in modo lineare, il grafico delle equazioni di tali funzioni risulta in punti che si sovrappongono. Le funzioni con equazioni indipendenti non si sovrappongono quando vengono rappresentate nel grafico. Un metodo per determinare se le funzioni sono dipendenti o indipendenti consiste nel calcolare il Wronskiano per le funzioni.
Che cos'è un wronskiano?
Il Wronskiano di due o più funzioni è ciò che è noto come determinante, che è una funzione speciale utilizzata per confrontare oggetti matematici e dimostrare alcuni fatti su di essi. Nel caso del Wronskiano, il determinante viene utilizzato per dimostrare la dipendenza o l'indipendenza tra due o più funzioni lineari.
La matrice wronskiana
Per calcolare il Wronskiano per le funzioni lineari, le funzioni devono essere risolte per lo stesso valore all'interno di una matrice che contiene sia le funzioni che le loro derivate. Un esempio di questo è
W(f, g)(t)=\begin{vmatrix} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatrix}
che fornisce il Wronskiano per due funzioni (feg) che vengono risolti per un singolo valore maggiore di zero (t); puoi vedere le due funzionif(t) eg(t) nella riga superiore della matrice e le derivatef'(t) eg'(t) nella riga inferiore. Nota che il Wronskian può essere usato anche per set più grandi. Se, ad esempio, si testano tre funzioni con un Wronskiano, è possibile popolare una matrice con le funzioni e le derivate dif(t), g(t) eh(t).
Risolvere il Wronskiano
Una volta che hai le funzioni disposte in una matrice, moltiplica ogni funzione contro la derivata dell'altra funzione e sottrai il primo valore dal secondo. Per l'esempio sopra, questo ti dà
W(f, g)(t) = f (t) g'(t) - g (t) f'(t)
Se la risposta finale è zero, questo mostra che le due funzioni sono dipendenti. Se la risposta è qualcosa di diverso da zero, le funzioni sono indipendenti.
Esempio Wronskiano
Per darti un'idea migliore di come funziona, supponi che
f (t) = x + 3 \text{ e } g (t) = x - 2
Utilizzando un valore dit= 1, puoi risolvere le funzioni come
f (1) = 4 \text{ e } g (1) = -1
Poiché si tratta di funzioni lineari di base con pendenza 1, le derivate di entrambif(t) eg(t) uguale a 1. La moltiplicazione incrociata dei tuoi valori dà a
W(f, g)(1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
che fornisce un risultato finale di 5. Sebbene le funzioni lineari abbiano entrambe la stessa pendenza, sono indipendenti perché i loro punti non si sovrappongono. Sef(t) avesse prodotto un risultato di -1 invece di 4, il Wronskiano avrebbe dato un risultato di zero invece di indicare la dipendenza.