Quando inizi a conoscere le funzioni, potresti doverle considerare come una macchina: inserisci un valore,X, nella funzione e, una volta elaborato attraverso la macchina, un altro valore, chiamiamolosì– salta fuori dall'altra parte. La gamma di possibiliXgli input che possono passare attraverso la macchina per restituire un output valido è chiamato dominio della funzione. Quindi, se ti viene chiesto di trovare il dominio di una funzione, devi davvero scoprire quali possibili input restituirebbero un output valido.
La strategia per trovare il dominio
Se stai solo imparando a conoscere funzioni e domini, di solito si presume che il dominio di una funzione sia "tutti i numeri reali". Quindi quando tu iniziare a definire il dominio, spesso è più facile usare la tua conoscenza della matematica, in particolare dell'algebra, per determinare quale numerinon lo sonomembri validi del dominio. Quindi, quando vedi le istruzioni "trova il dominio", spesso è più facile leggerle nella tua testa come "trova ed elimina tutti i numeri chenon possoessere nel dominio."
Nella maggior parte dei casi, questo si riduce al controllo (ed eliminazione) di potenziali input che renderebbero indefinite le frazioni, o avere 0 nel denominatore e cercare potenziali input che ti darebbero numeri negativi sotto una radice quadrata cartello.
Un esempio di ricerca del dominio
Considera la funzione
f (x) = \frac{3}{x - 2}
il che significa davvero che qualsiasi numero immesso verrà scartato al posto diXa destra dell'equazione. Ad esempio, se hai calcolatof(4) avresti
f (4) = \frac{3}{4 - 2}
che va a 3/2.
Ma cosa succede se hai calcolato?f(2) o, in altre parole, inserire 2 al posto diX? Allora avresti
f (2) = \frac{3}{2 - 2}
che si semplifica a 3/0, che è una frazione indefinita.
Questo illustra uno dei due casi comuni che possono escludere un numero dal dominio di una funzione. Se è coinvolta una frazione e l'input fa sì che il denominatore di tale frazione sia zero, l'input deve essere escluso dal dominio della funzione.
Un piccolo esame ti mostrerà che assolutamente qualsiasi numerotranne2 restituirà un risultato valido (se a volte disordinato) per la funzione in questione, quindi il dominio di questa funzione è tutti i numeri tranne 2.
Un altro esempio di ricerca del dominio
C'è un'altra istanza comune che escluderà possibili membri del dominio di una funzione: avere una quantità negativa sotto un segno di radice quadrata o qualsiasi radicale con un indice pari. Considera la funzione di esempio
f (x) = \sqrt{5 - x}
SeX≤ 5, quindi la quantità sotto il segno del radicale sarà 0 o positiva e restituirà un risultato valido. Ad esempio, seX= 4.5 avresti
f (4.5) = \sqrt{5 - 4.5} = \sqrt{0.5}
che, sebbene disordinato, restituisce comunque un risultato valido. E seX= −10 avresti
f(-10) = \sqrt{5 - (-10)} = \sqrt{5 + 10} = \sqrt{15}
che, di nuovo, restituisce un risultato valido se disordinato.
Ma immagina cheX= 5.1. Nel momento in cui superi la linea di demarcazione tra 5 e qualsiasi numero maggiore di esso, finisci con un numero negativo sotto il radicale:
f (5.1) = \sqrt{5 - 5.1} = \sqrt{-0.1}
Molto più tardi nella tua carriera matematica, imparerai a dare un senso alle radici quadrate negative usando un concetto chiamato numeri immaginari o numeri complessi. Ma per ora, avere un numero negativo sotto il segno radicale esclude quell'input come membro valido del dominio della funzione.
Quindi, in questo caso, perché qualsiasi numeroX≤ 5 restituisce un risultato valido per questa funzione e qualsiasi numeroX> 5 restituisce un risultato non valido, il dominio della funzione è tutti i numeriX ≤ 5.