Come risolvere i sistemi di equazioni mediante la rappresentazione grafica

I sistemi di equazioni possono aiutare a risolvere le domande della vita reale in tutti i tipi di campi, dalla chimica all'economia allo sport. Risolverli non è importante solo per i tuoi voti in matematica; può farti risparmiare un sacco di tempo se stai cercando di fissare obiettivi per la tua attività o per la tua squadra sportiva.

TL; DR (troppo lungo; non ho letto)

Per risolvere un sistema di equazioni rappresentando graficamente, tracciare graficamente ogni linea sullo stesso piano di coordinate e vedere dove si intersecano.

Ad esempio, immagina che tu e il tuo amico stiate allestendo un chiosco di limonate. Decidi di dividere e conquistare, quindi il tuo amico va al campo da basket del quartiere mentre tu rimani all'angolo della strada della tua famiglia. Alla fine della giornata, metti in comune i tuoi soldi. Insieme, hai guadagnato $ 200, ma il tuo amico ha guadagnato $ 50 in più di te. Quanti soldi avete guadagnato ciascuno di voi?

Oppure pensate al basket: i tiri fuori dalla linea dei 3 punti valgono 3 punti, i canestri realizzati all'interno della linea dei 3 punti valgono 2 punti e i tiri liberi valgono solo 1 punto. Il tuo avversario è davanti a te di 19 punti. Quali combinazioni di cestini potresti fare per recuperare il ritardo?

La rappresentazione grafica è uno dei modi più semplici per risolvere sistemi di equazioni. Tutto quello che devi fare è rappresentare graficamente entrambe le linee sullo stesso piano di coordinate e quindi vedere dove si intersecano.

Innanzitutto, devi scrivere la parola problema come un sistema di equazioni. Assegna variabili alle incognite. Chiama i soldi che guadagnisìe i soldi che guadagna il tuo amicoF​.

Ora hai due tipi di informazioni: informazioni su quanti soldi hai guadagnato insieme e informazioni su come hai guadagnato rispetto ai soldi guadagnati dal tuo amico. Ognuno di questi diventerà un'equazione.

Per la prima equazione scrivi:

poiché i tuoi soldi più i soldi del tuo amico ammontano a $ 200.

Quindi, scrivi un'equazione per descrivere il confronto tra i tuoi guadagni.

perché l'importo che hai fatto è pari a 50 dollari in meno di quello che ha guadagnato il tuo amico. Potresti anche scrivere questa equazione comesì​ + 50 = ​F, poiché quello che hai guadagnato più 50 dollari è uguale a quello che ha guadagnato il tuo amico. Questi sono modi diversi di scrivere la stessa cosa e non cambieranno la tua risposta finale.

Quindi il sistema di equazioni assomiglia a questo:

Successivamente, è necessario rappresentare graficamente entrambe le equazioni sullo stesso piano di coordinate. Grafico il tuo importo,sì, sulsì-axis e l'importo del tuo amico,F, sulX-axis (in realtà non importa quale sia quale fintanto che li etichetti correttamente). Puoi usare carta millimetrata e una matita, una calcolatrice grafica portatile o una calcolatrice grafica online.

In questo momento un'equazione è in forma standard e una è in forma intercetta pendenza. Non è necessariamente un problema, ma per motivi di coerenza, porta entrambe le equazioni nella forma dell'intercetta di pendenza.

Quindi, per la prima equazione, converti dalla forma standard alla forma dell'intercetta di pendenza. Ciò significa risolvere persì; in altre parole, otteneresìda solo sul lato sinistro del segno di uguale. Quindi sottraiFda entrambi i lati:

Ricorda che nella forma dell'intercetta della pendenza, il numero davanti alla F è la pendenza e la costante è l'intercetta y.

Per rappresentare graficamente la prima equazione,sì​ = −​F+ 200, disegna un punto in (0, 200), quindi usa la pendenza per trovare più punti. La pendenza è -1, quindi scendi di un'unità e sopra un'unità e disegna un punto. Ciò crea un punto in (1, 199), e se ripeti il ​​processo a partire da quel punto, otterrai un altro punto in (2, 198). Questi sono piccoli movimenti su una linea grande, quindi disegna un altro punto in corrispondenza delX-intercetta per assicurarti di avere le cose ben rappresentate nel grafico a lungo termine. Sesì= 0, quindiFsarà 200, quindi traccia un punto in (200, 0).

Per rappresentare graficamente la seconda equazione,sì​ = ​F– 50, usa l'intercetta y di -50 per disegnare il primo punto in (0, -50). Poiché la pendenza è 1, inizia da (0, -50), quindi sali di un'unità e oltre un'unità. Questo ti mette a (1, -49). Ripeti il ​​processo partendo da (1, -49) e otterrai un terzo punto in (2, -48). Ancora una volta, per assicurarti di fare le cose in modo ordinato su lunghe distanze, ricontrolla te stesso disegnando anche ilX-intercettare. quandosì​ = 0, ​Fsarà 50, quindi disegna anche un punto in (50, 0). Disegna una linea netta che collega questi punti.

Osserva attentamente il tuo grafico per vedere dove si intersecano le due linee. Questa sarà la soluzione, perché la soluzione di un sistema di equazioni è il punto (oi punti) che rendono vere entrambe le equazioni. Su un grafico, questo assomiglierà al punto (o ai punti) in cui le due linee si intersecano.

In questo caso, le due linee si intersecano in (125, 75). Quindi la soluzione è che il tuo amico (ilX-coordinate) ha guadagnato $ 125 e tu (ilsì-coordinate) ha guadagnato $75.

Controllo logico rapido: ha senso? Insieme, i due valori si sommano a 200 e 125 è 50 più di 75. Suona bene.

In questo caso, c'era esattamente un punto in cui le due linee si incrociavano. Quando lavori con sistemi di equazioni, ci sono tre possibili risultati e ognuno apparirà diverso su un grafico.

• Se il sistema ha una soluzione, le linee si incroceranno in un unico punto, come nell'esempio.
• Se il sistema non ha soluzioni, le linee non si incrociano mai. Saranno paralleli, il che in termini algebrici significa che avranno la stessa pendenza.
• Il sistema può anche avere infinite soluzioni, il che significa che le tue "due" linee sono in realtà la stessa linea. Quindi avranno ogni singolo punto in comune, che è un numero infinito di soluzioni.