Il concetto diautovaloriè oscuro ma è molto utile per i matematici e gli scienziati fisici che devono affrontare alcuni problemi interessanti.
Per comprendere un autovalore, immagina di avere una funzione (ad es.sì = X2 + 6X, osì= registro 4X) che potresti eseguire un processo in modo tale che il risultato sia lo stesso della moltiplicazione dell'intera funzione per un valore costante. Tale funzione si qualificherebbe come unautofunzione, e la costante sarebbe un autovalore.
- "Eigen" in tedesco significa "stesso".
Per comprendere al meglio gli autovalori e le autofunzioni ed essere in grado di calcolare gli autovalori da soli, è necessaria una conoscenza di base delle matrici. Questi trucchi matematici sono usati per determinare, diciamo, l'ordine di legame di NO2 (biossido di azoto) e altre molecole, perché il comportamento degli elettroni negli atomi è determinato da funzioni d'onda che si qualificano come autofunzioni.
Che cos'è una matrice?
Una matrice è una matrice di numeri ordinati in righe e colonne, che possono numerare da 1 a
n. Le dimensioni delle matrici sono fornite riga per colonna; ad esempio, la seguente è una matrice 2 per 3:\begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{bmatrix}
Le matrici possono essere sommate se hanno la stessa dimensione (cioè hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne). Possono anche essere moltiplicati insieme con un processo graduale nelle stesse condizioni. Inoltre, qualsiasi matrice può essere moltiplicata per un vettore, che è 1 pernon-per-1 matrice; questo include altri vettori.
Che cos'è un'equazione agli autovalori?
Dì che hai unn-di-no matrice "quadrata"UN, un diverso da zeron-per-1 vettoreve uno scalare scalaλ, tale che sia soddisfatta la seguente equazione:
\bold{Av} = \bold{v}
Qualsiasi valore diλper cui questa equazione ha una soluzione è noto come autovalore della matriceUN.
Non lasciare che la tua mente tratti le espressioni di cui sopra come un prodotto.UNè unoperatoresu, o una trasformazione lineare del vettorev, questo calcolo è possibile solo perchéUNeventrambi hannonrighe.
Perché usare le funzioni agli autovalori?
La derivazione è complicata, ma in chimica atomica si usa l'operatore Hamiltoniano "H-bar" per esprimere l'energia cinetica e potenziale di un sistema:
\hat H=-\dfrac{ℏ}{2m}∇^2+\hat V(x, y, z)
Questo è usato per scrivere una forma diEquazione della funzione d'onda di Schrodingerin meccanica quantistica:
\hat Hψ(x, y, z)=Eψ(x, y, z)
QuiErappresenta gli autovalori che soddisfano questa equazione.
Modi per trovare gli autovalori di una matrice
Dall'equazione Av = λv, si ottieneUN v − λv=0. Questo porta a:
\bold{A v} − λ(\bold{I v})=0
Doveioè la matrice identità 2 per 2 con righe di [λ0] e [0λ], che porta a 1 quando moltiplicato per lo scalareλ. Questo risultato produce:
(\bold{A} - λ\bold{I})\bold{v} = 0
che sevè diverso da zero, ha soluzione solo se il valore assoluto diUN− λio, o |UN − λio|, è zero. Se li fai a mano, comporta la risoluzione di un'equazione quadratica e può essere noioso.
Per moltiplicare tra loro due matrici, per ogni punto nella matrice prodotto, moltiplichi tra loro i punti corrispondenti e aggiungi questo ai prodotti degli elementi di riga e colonna rimanenti nella riga e nella colonna a cui il nuovo punto appartiene.
Nel moltiplicare due matrici 2 per 2UNeBinsieme, se la prima riga diUNè [1 3] e la prima colonna diBè [2 5], il numero nella prima colonna e riga della nuova matrice sarebbe [(1 × 2) +(3 × 5)] = 15, e corrispondentemente per gli altri tre punti.
Calcola autovalori online
Nelle Risorse, troverai uno strumento di calcolo della matrice che ti consente di trovare autovalori e altro per una matrice di quasi tutte le dimensioni immaginabili.