C'è un'importante grande differenza tra trovare l'asintoto/i verticale/i del grafico di una funzione razionale e trovare un buco nel grafico di quella funzione. Anche con i moderni calcolatori grafici che abbiamo, è molto difficile vedere o identificare che c'è un buco nel grafico. Questo articolo mostrerà come identificare sia analiticamente che graficamente.
Useremo una data funzione razionale come esempio per mostrare analiticamente, come trovare un asintoto verticale e un buco nel grafico di quella funzione. Sia la funzione razionale,... f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6).
Fattorizzazione del denominatore di f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6). Otteniamo la seguente funzione equivalente, f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)]. Ora se il Denominatore (x-2)(x-3) = 0, allora la funzione Razionale sarà Indefinita, cioè il caso di Divisione per Zero (0). Si prega di consultare l'articolo 'Come dividere per zero (0)', scritto dallo stesso autore, Z-MATH.
Noteremo che Divisione per Zero, è Indefinito solo se l'espressione Razionale ha un numeratore che non è uguale a Zero (0), e il Denominatore è uguale a Zero (0), in questo caso il Grafico della funzione andrà senza limiti verso Infinito Positivo o Negativo al valore di x che fa sì che l'espressione del Denominatore sia uguale a Zero. È a questa x che tracciamo una Linea Verticale, chiamata L'Asintoto Verticale.
Ora se il numeratore e il denominatore dell'espressione razionale sono entrambi Zero (0), per lo stesso valore di x, allora il La divisione per zero a questo valore di x è detta "senza significato" o indeterminata, e abbiamo un buco nel grafico a questo valore di x.
Quindi, nella Funzione Razionale f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)], vediamo che a x=2 o x=3, il Denominatore è uguale a Zero (0 ). Ma in x=3, notiamo che il Numeratore è uguale a ( 1 ), cioè f (3) = 1/0, quindi un Asintoto Verticale in x = 3. Ma a x=2, abbiamo f (2) = 0/0, 'senza significato'. C'è un buco nel grafico in x = 2.
Possiamo trovare le coordinate del Buco trovando una funzione Razionale equivalente a f (x), che ha tutti gli stessi punti di f (x) tranne nel punto x=2. Cioè, sia g (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)], x 2, quindi riducendo ai minimi termini abbiamo g (x) = 1/(x- 3). Sostituendo x=2, in questa funzione otteniamo g (2) = 1/(2-3) = 1/(-1) = -1. quindi il Buco nel grafico di f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6), è a (2,-1).
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