In algebra, le sequenze di numeri sono preziose per studiare cosa succede quando qualcosa diventa sempre più grande o più piccolo. Una sequenza aritmetica è definita dalla differenza comune, che è la differenza tra un numero e il successivo nella sequenza. Per le sequenze aritmetiche, questa differenza è un valore costante e può essere positiva o negativa. Di conseguenza, una sequenza aritmetica continua a diventare più grande o più piccola di un importo fisso ogni volta che viene aggiunto un nuovo numero all'elenco che compone la sequenza.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Una sequenza aritmetica è un elenco di numeri in cui i termini consecutivi differiscono di una quantità costante, la differenza comune. Quando la differenza comune è positiva, la sequenza continua ad aumentare di un importo fisso, mentre se è negativa, la sequenza diminuisce. Altre sequenze comuni sono la sequenza geometrica, in cui i termini differiscono per un fattore comune, e la sequenza di Fibonacci, in cui ogni numero è la somma dei due numeri precedenti.
Come funziona una sequenza aritmetica
Una sequenza aritmetica è definita da un numero iniziale, una differenza comune e il numero di termini nella sequenza. Ad esempio, una sequenza aritmetica che inizia con 12, una differenza comune di 3 e cinque termini è 12, 15, 18, 21, 24. Un esempio di una sequenza decrescente è quella che inizia con il numero 3, una differenza comune di -2 e sei termini. Questa sequenza è 3, 1, -1, -3, -5, -7.
Le successioni aritmetiche possono anche avere un numero infinito di termini. Ad esempio, la prima sequenza sopra con un numero infinito di termini sarebbe 12, 15, 18,... e quella sequenza continua all'infinito.
Significato aritmetico
Una sequenza aritmetica ha una serie corrispondente che aggiunge tutti i termini della sequenza. Quando i termini vengono aggiunti e la somma viene divisa per il numero di termini, il risultato è la media aritmetica o media. La formula per la media aritmetica è
\text{media}= \frac{ \text{somma di }n \text{ termini}}{n}
Un modo rapido per calcolare la media di una sequenza aritmetica consiste nell'utilizzare l'osservazione che, quando il primo e l'ultimo termini vengono aggiunti, la somma è la stessa di quando vengono aggiunti il secondo e il penultimo termine o il terzo e il terzultimo termini. Di conseguenza, la somma della sequenza è la somma del primo e dell'ultimo termine per la metà del numero di termini. Per ottenere la media, la somma viene divisa per il numero di termini, quindi la media di una sequenza aritmetica è metà della somma del primo e dell'ultimo termine. Pernterminiun1 perunn, la formula corrispondente per la media m è
m= \frac{a_1+a_n}{2}
Le successioni aritmetiche infinite non hanno un termine ultimo, e quindi la loro media è indefinita. Invece, una media per una somma parziale può essere trovata limitando la somma a un numero definito di termini. In tal caso, la somma parziale e la sua media possono essere trovate allo stesso modo di una successione non infinita.
Altri tipi di sequenze
Le sequenze di numeri sono spesso basate su osservazioni di esperimenti o misurazioni di fenomeni naturali. Tali sequenze possono essere numeri casuali, ma spesso le sequenze risultano essere aritmetiche o altri elenchi ordinati di numeri.
Ad esempio, le sequenze geometriche differiscono dalle sequenze aritmetiche perché hanno un fattore comune piuttosto che una differenza comune. Invece di aggiungere o sottrarre un numero per ogni nuovo termine, un numero viene moltiplicato o diviso ogni volta che viene aggiunto un nuovo termine. Una sequenza che è 10, 12, 14,... come una sequenza aritmetica con una differenza comune di 2 diventa 10, 20, 40,... come una sequenza geometrica con un fattore comune di 2.
Altre sequenze seguono regole completamente diverse. Ad esempio, i termini della sequenza di Fibonacci si formano sommando i due numeri precedenti. La sua sequenza è 1, 1, 2, 3, 5, 8,... I termini devono essere aggiunti singolarmente per ottenere una somma parziale perché il metodo rapido per aggiungere il primo e l'ultimo termine non funziona per questa sequenza.
Le sequenze aritmetiche sono semplici ma hanno applicazioni nella vita reale. Se si conosce il punto di partenza e si può trovare la differenza comune, è possibile calcolare il valore della serie in un punto specifico nel futuro e determinare anche il valore medio.