In matematica, una sequenza è una qualsiasi stringa di numeri disposti in ordine crescente o decrescente. Una sequenza diventa una sequenza geometrica quando puoi ottenere ogni numero moltiplicando il numero precedente per un fattore comune. Ad esempio, le serie 1, 2, 4, 8, 16... è una successione geometrica con il fattore comune 2. Se moltiplichi qualsiasi numero della serie per 2, otterrai il numero successivo. Al contrario, la sequenza 2, 3, 5, 8, 14, 22... non è geometrico perché non c'è un fattore comune tra i numeri. Una sequenza geometrica può avere un fattore comune frazionario, nel qual caso ogni numero successivo è minore di quello che lo precede. 1, 1/2, 1/4, 1/8... è un esempio. Il suo fattore comune è 1/2.
Il fatto che una sequenza geometrica abbia un fattore comune permette di fare due cose. Il primo è calcolare qualsiasi elemento casuale nella sequenza (che i matematici amano chiamare "nth"), e il secondo è trovare la somma della successione geometrica fino alnesimo elemento. Quando sommi la sequenza inserendo un segno più tra ogni coppia di termini, trasformi la sequenza in una serie geometrica.
Trovare l'ennesimo elemento in una serie geometrica
In generale, puoi rappresentare qualsiasi serie geometrica nel modo seguente:
a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +.. .
dove "un" è il primo termine della serie e "r"è il fattore comune. Per verificarlo, si consideri la serie in cuiun= 1 er= 2. Ottieni 1 + 2 + 4 + 8 + 16... Funziona!
Stabilito ciò, è ora possibile derivare una formula per l'ennesimo termine della sequenza (Xn).
x_n = ar^{(n-1)}
L'esponente èn− 1 invece dinper consentire che il primo termine della sequenza venga scritto comear0, che è uguale a "un."
Verifica questo calcolando il quarto termine nella serie di esempio.
x_4 = (1) × 2^3 = 8
Calcolo della somma di una sequenza geometrica
Se vuoi sommare una sequenza divergente, che è una con un rapporto comune maggiore di 1 o minore di -1, puoi farlo solo fino a un numero finito di termini. È tuttavia possibile calcolare la somma di una successione convergente infinita, che è una con un rapporto comune tra 1 e − 1.
Per sviluppare la formula della somma geometrica, inizia considerando cosa stai facendo. Stai cercando il totale delle seguenti serie di aggiunte:
a + a + ar^2 + ar^3 +... + ar^{(n-1)}
Ogni termine della serie èarK, eKva da 0 an− 1. La formula per la somma delle serie utilizza il segno sigma maiuscolo – ∑ – che significa sommare tutti i termini da (K= 0) a (K = n − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
Per verificarlo, si consideri la somma dei primi 4 termini della serie geometrica che parte da 1 e ha un fattore comune 2. Nella formula precedente,un = 1, r= 2 en= 4. Inserendo questi valori si ottiene:
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
Questo è facile da verificare aggiungendo tu stesso i numeri della serie. In effetti, quando hai bisogno della somma di una serie geometrica, di solito è più facile aggiungere i numeri da soli quando ci sono solo pochi termini. Se la serie ha un numero elevato di termini, tuttavia, è molto più semplice utilizzare la formula della somma geometrica.
