Le radici di un polinomio sono anche chiamate i suoi zeri, perché le radici sono leXvalori in cui la funzione è uguale a zero. Quando si tratta di trovare effettivamente le radici, hai a disposizione più tecniche; il factoring è il metodo che utilizzerai più frequentemente, sebbene anche la rappresentazione grafica possa essere utile.
Quante radici?
Esaminare il termine di grado più alto del polinomio, ovvero il termine con l'esponente più alto. Questo esponente è quante radici avrà il polinomio. Quindi se l'esponente più alto nel tuo polinomio è 2, avrà due radici; se l'esponente più alto è 3, avrà tre radici; e così via.
Avvertenze
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C'è un problema: le radici di un polinomio possono essere reali o immaginarie. Le radici "reali" sono membri dell'insieme noto come numeri reali, che a questo punto della tua carriera matematica è ogni numero con cui sei abituato a trattare. La padronanza dei numeri immaginari è un argomento completamente diverso, quindi per ora ricorda solo tre cose:
- Le radici "immaginarie" emergono quando hai la radice quadrata di un numero negativo. Ad esempio, (-9).
- Le radici immaginarie arrivano sempre in coppia.
- Le radici di un polinomio possono essere reali o immaginarie. Quindi, se hai un polinomio di 5° grado, potrebbe avere cinque radici reali, tre radici reali e due radici immaginarie e così via.
Trova le radici per fattorizzazione: Esempio 1
Il modo più versatile per trovare le radici è scomporre il polinomio il più possibile e quindi impostare ciascun termine uguale a zero. Questo ha molto più senso una volta che hai seguito alcuni esempi. Considera il polinomio sempliceX2 – 4X:
Un breve esame mostra che puoi fattorizzareXda entrambi i termini del polinomio, che ti dà:
x (x - 4)
Imposta ogni termine a zero. Ciò significa risolvere per due equazioni:
x = 0
è il primo termine posto a zero, e
x - 4 = 0
è il secondo termine posto a zero.
Hai già la soluzione per il primo termine. SeX= 0, allora l'intera espressione è uguale a zero. CosìX= 0 è una delle radici, o zeri, del polinomio.
Consideriamo ora il secondo termine e risolviamo perX. Se aggiungi 4 a entrambi i lati avrai:
x - 4 + 4 = 0 + 4
che si semplifica in:
x = 4
Quindi seX= 4 allora il secondo fattore è uguale a zero, il che significa che anche l'intero polinomio è uguale a zero.
Poiché il polinomio originale era di secondo grado (l'esponente più alto era due), sai che ci sono solo due possibili radici per questo polinomio. Li hai già trovati entrambi, quindi non ti resta che elencarli:
x = 0, x = 4
Trova le radici per fattorizzazione: Esempio 2
Ecco un altro esempio di come trovare le radici fattorizzando, usando un po' di fantasia algebra lungo la strada. Considera il polinomioX4 – 16. Un rapido sguardo ai suoi esponenti ti mostra che dovrebbero esserci quattro radici per questo polinomio; ora è il momento di trovarli.
Hai notato che questo polinomio può essere riscritto come differenza di quadrati? Quindi invece diX4 – 16, hai:
(x^2)^2 - 4^2
Che, usando la formula per la differenza dei quadrati, fattorizza quanto segue:
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
Il primo termine è, di nuovo, una differenza di quadrati. Quindi, anche se non puoi fattorizzare ulteriormente il termine a destra, puoi scomporre il termine a sinistra un passo in più:
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Ora è il momento di trovare gli zeri. Diventa subito chiaro che seX= 2, il primo fattore sarà uguale a zero e quindi l'intera espressione sarà uguale a zero.
Allo stesso modo, seX= -2, il secondo fattore sarà uguale a zero e così anche l'intera espressione.
CosìX= 2 eX= −2 sono entrambi zeri, o radici, di questo polinomio.
Ma che dire di quell'ultimo mandato? Poiché ha un esponente "2", dovrebbe avere due radici. Ma non puoi fattorizzare questa espressione usando i numeri reali a cui sei abituato. Dovresti usare un concetto matematico molto avanzato chiamato numeri immaginari o, se preferisci, numeri complessi. Questo va ben oltre lo scopo della tua attuale pratica di matematica, quindi per ora è sufficiente notare che hai due radici reali (2 e -2) e due radici immaginarie che lascerai indefinite.
Trova le radici con i grafici
Puoi anche trovare, o almeno stimare, le radici mediante grafici. Ogni radice rappresenta un punto in cui il grafico della funzione incrocia ilXasse. Quindi, se tracci la linea e poi noti ilXcoordinate in cui la linea interseca laXasse, è possibile inserire la stimaXi valori di quei punti nella tua equazione e controlla se li hai ottenuti corretti.
Considera il primo esempio su cui hai lavorato, per il polinomioX2 – 4X. Se lo disegni con attenzione, vedrai che la linea attraversa il crossXasse aX= 0 eX= 4. Se inserisci ciascuno di questi valori nell'equazione originale, otterrai:
0^2 - 4(0) = 0
cosìX= 0 era uno zero valido o una radice per questo polinomio.
4^2 - 4(4) = 0
cosìX= 4 è anche uno zero valido o una radice per questo polinomio. E poiché il polinomio era di grado 2, sai che puoi smettere di cercare dopo aver trovato due radici.