Una curva normale è il nome del grafico del distribuzione di probabilità normale standard, che è ciò di cui le persone parlano (spesso inconsapevolmente) quando menzionano una "curva a campana" che mostra dove si trovano le persone o altre variabili in relazione a una media o media della popolazione.
Una curva normale standard fornisce una rappresentazione visiva e numerica di come una data variabile è distribuita su una popolazione quando il situazione reale rappresentata dalla funzione è nota per avere una distribuzione simmetrica nella popolazione di interesse (da cui la "campana" forma). Ciò potrebbe includere il QI o l'altezza nei maschi, che è probabile che vari verso un lato della media quanto lo è verso l'altro, ed è anche probabile che vari della stessa grandezza.
Tutte le curve normali e i loro dati associati hanno alcuni attributi in comune che consentono la generazione di tabelle numeriche che consentono di risolvere i valori dell'area al posto di calcoli matematici più complessi calcoli.
La distribuzione normale standard
In qualsiasi distribuzione normale, per definizione, poco meno del 68% dei punti dati rientra in una deviazione standard della media della popolazione o del campione di popolazione. Circa il 95 percento rientra in due deviazioni standard e il 99,9 percento si trova entro tre deviazioni standard.
Ad ogni segno di deviazione standard viene assegnato un valore intero sulla media (ad esempio, -3, -2, 1, 1, 2, 3) e assegnato il variabile z. Questo valore, o punteggio z, può anche assumere valori non interi (ad esempio, -2,58).
I punteggi Z vengono utilizzati per determinare la probabilità che un evento si verifichi all'interno di un intervallo di possibilità specificato. Ad esempio, se ti viene detto che la media e la deviazione standard per IQ (quoziente di intelligenza) sono 100 e 20 punti, rendendo z = 0 per IQ = 100 ez = 1.0 per IQ = 120 e ti viene chiesto di dare la probabilità che una persona scelta a caso abbia un QI di 140 o superiore, usi una tabella z per arrivare a una soluzione.
L'area sotto la curva normale
Nella maggior parte dei casi in matematica, l'area sotto la curva del grafico di un'equazione si trova manipolando gli elementi unici di quell'equazione direttamente, ad esempio integrando la curva tra le coordinate x di interesse. Con la curva normale, invece, cerchi uno o due numeri su una tabella chiamata valori z e, se necessario, esegui un passaggio di sottrazione.
All'area sotto l'intera curva normale, indipendentemente dalla sua forma precisa, viene assegnato il valore 1.0. Tutte le aree parziali sotto il le curve normali sono quindi numeri decimali compresi tra 0 e 1 e possono essere facilmente convertiti in percentuali moltiplicandoli per 100.
Le tabelle Z consentono letture fino al centesimo posto del punteggio per dare aree a quattro o cinque cifre significative. Questo viene fatto ottenendo il decimo posto sull'asse sinistro e quindi leggendo la riga appropriata per ottenere il centesimo posto.
- Questo spiega perché la proporzione dell'area a sinistra di z = -2,58 è 0,00494.
Distribuzione normale: area tra due punti
Supponiamo che in un test con una media di 80 e una deviazione standard di 10, tu voglia sapere quale percentuale degli studenti ha avuto punteggi tra 65 e 85.
Inizierai trovando il z-score superiore e inferiore. Questo viene fatto sottraendo la media dal limite superiore e dividendo per la deviazione standard: (85 - 80)/10 = 0,50. Quindi trovi il limite inferiore allo stesso modo: (65 - 80)/10 -1,50.
Ora puoi assegnare i valori dell'area a questi z-score facendo riferimento alla tabella. Questi valori sono 0,68916 per z = 0,5 e 0,06681 per z = 1,5. Ognuna di queste aree rappresenta l'area sotto la curva dalla "coda" sinistra a il valore x in questione, quindi per l'area tra i due punti x = 65 e x = 85, sottrai il valore minore dal maggiore per ottenere 0.63135.
Pertanto, ci si può aspettare che il 63,1% dei punteggi rientri nell'intervallo da 65 a 85 data una deviazione standard di 10 in una distribuzione normale.