Una delle operazioni importanti che fai nel calcolo è trovare le derivate. La derivata di una funzione è anche chiamata tasso di variazione di quella funzione. Per esempio, se x (t) è la posizione di un'auto in ogni istante t, allora la derivata di x, che si scrive dx/dt, è la velocità dell'auto. Inoltre, la derivata può essere visualizzata come la pendenza di una retta tangente al grafico di una funzione. A livello teorico, è così che i matematici trovano le derivate. In pratica, i matematici utilizzano insiemi di regole di base e tabelle di ricerca.
La derivata come pendenza
La pendenza di una linea tra due punti è l'aumento, o differenza nei valori y diviso per la corsa, o differenza nei valori x. La pendenza di una funzione y (x) per un certo valore di x è definita come la pendenza di una retta tangente alla funzione nel punto [x, y (x)]. Per calcolare la pendenza si costruisce una linea tra il punto [x, y (x)] e un punto vicino [x+h, y (x+h)], dove h è un numero molto piccolo. Per questa linea, la corsa o la variazione del valore x è h e l'aumento o la variazione del valore y è y (x+h) - y (x). Di conseguenza, la pendenza di y (x) nel punto [x, y (x)] è approssimativamente uguale a [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)]/h. Per ottenere esattamente la pendenza, si calcola il valore della pendenza man mano che h diventa sempre più piccolo, fino al "limite" in cui va a zero. La pendenza così calcolata è la derivata di y (x), che si scrive come y'(x) o dy/dx.
La derivata di una funzione di potenza
È possibile utilizzare il metodo pendenza/limite per calcolare le derivate di funzioni in cui y è uguale a x alla potenza di a, oppure y (x) = x^a. Ad esempio, se y è uguale a x al cubo, y (x) = x^3, allora dy/dx è il limite quando h va a zero di [(x + h)^3 - x^3]/h. Espandendo (x+h)^3 si ottiene [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h, che si riduce a 3x^2 + 3xh^2 + h^2 dopo aver diviso di h. Nel limite quando h va a zero, anche tutti i termini che hanno h dentro vanno a zero. Quindi, y'(x) = dy/dx = 3x^2. Puoi farlo per valori di a diversi da 3 e, in generale, puoi mostrare che d/dx (x^a) = (a - 1)x^(a-1).
Derivato da una serie di potenze
Molte funzioni possono essere scritte come le cosiddette serie di potenze, che sono la somma di un numero infinito di termini, dove ognuno è della forma C(n) x^n, dove x è una variabile, n è un intero e C(n) è un numero specifico per ogni valore di nf. Ad esempio, la serie di potenze per la funzione seno è Sin (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +..., dove “...” significa termini che continuano su all'infinito. Se conosci la serie di potenze di una funzione, puoi usare la derivata della potenza x^n per calcolare la derivata della funzione. Ad esempio, la derivata di Sin (x) è uguale a 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +..., che risulta essere la serie di potenze per Cos (x).
Derivati da tabelle
Le derivate di funzioni di base come potenze come x^a, funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche e funzioni trigonometriche, si trovano utilizzando il metodo pendenza/limite, il metodo delle serie di potenze o altri metodi. Questi derivati sono poi elencati nelle tabelle. Ad esempio, puoi cercare che la derivata di Sin (x) è Cos (x). Quando le funzioni complesse sono combinazioni delle funzioni di base, sono necessarie regole speciali come la regola della catena e la regola del prodotto, anch'esse fornite nelle tabelle. Ad esempio, usi la regola della catena per scoprire che la derivata di Sin (x^2) è 2xCos (x^2). Si utilizza la regola del prodotto per scoprire che la derivata di xSin (x) è xCos (x) + Sin (x). Usando tabelle e semplici regole, puoi trovare la derivata di qualsiasi funzione. Ma quando una funzione è estremamente complessa, gli scienziati a volte ricorrono a programmi per computer per chiedere aiuto.