Scomporre in fattori un polinomio o un trinomio significa esprimerlo come un prodotto. Scomporre in fattori polinomi e trinomi è importante quando si risolve per zero. Non solo la scomposizione in fattori rende più facile trovare la soluzione, ma poiché queste espressioni coinvolgono esponenti, potrebbe esserci più di una soluzione. Esistono diversi approcci alla fattorizzazione di polinomi e trinomi e l'approccio utilizzato varierà. Questi metodi includono la ricerca del più grande fattore comune, il factoring per raggruppamento e il metodo FOIL.
Cerca il massimo comun divisore, se ce n'è uno, prima di scomporre in fattori qualsiasi polinomio o trinomio. In genere, il modo più veloce per farlo è attraverso la scomposizione in fattori primi, ovvero utilizzando i numeri primi per esprimere il numero come prodotto. In alcuni polinomi, il massimo comun divisore potrebbe includere anche la variabile.
Considera i numeri 20 e 30. La scomposizione in fattori primi di 20 è 2 x 2 x 5 e la scomposizione in fattori primi di 30 è 2 x 3 x 5. I fattori comuni sono due e cinque. Due per cinque fa 10, quindi 10 è il massimo comun divisore.
Controlla il risultato del factoring moltiplicando. Puoi fattorizzare l'espressione 7x^2 + 14 in 7(x^2 + 2). Quando questa fattorizzazione viene moltiplicata, ritorna all'espressione originale, 7x^2 + 14, quindi è corretta.
Consideriamo il polinomio x^3 + x^2 + 2x + 2, in cui non c'è altro fattore che uno comune a tutti i termini.
Fattore x^3 + x^2 e 2x + 2 separatamente: x^3 + x^2 = x^2(x+1) e 2x + 2 = 2(x+1). Quindi, x^3 + x^2 + 2x + 2 = x^2(x+1) + 2(x+1) = (x^2+2)(x+1). Nell'ultimo passaggio, scomponi x+1 perché è un fattore comune.
Fattori trinomiali del tipo ax^2 + bx + c usando il metodo FOIL — first, external, inner, last —. Un trinomio fattorizzato è costituito da due binomi. Ad esempio, l'espressione (x+2)(x+5) = x^2 + 5x + 2x + 2(5) = x^2 + 7x + 10. Quando il coefficiente principale, a, è uno, il coefficiente, b, è la somma dei termini costanti di binomi — in questo caso due e cinque — e il termine costante del trinomio, c, è il prodotto di questi termini.
Scomponi il più grande fattore comune, se ce n'è uno. Trova due fattori di a, facendo un elenco di tutti i possibili fattori prima di continuare se a non è uno o un numero primo. Moltiplica ogni numero per x. Questi sono il primo termine di ogni binomio. In molti trinomi, il coefficiente a è uguale a 1. Considera l'esempio 3x^2 - 10x - 8. Non esiste un fattore comune e le uniche possibilità per i primi termini sono 3x e x. Questo fornisce i primi termini dei binomi: (3x+)(x+).
Trova gli ultimi termini dei binomi moltiplicando per trovare un numero uguale a c. Utilizzando l'esempio precedente, gli ultimi termini dovrebbero avere un prodotto di -8. Ci sono un certo numero di fattorizzazioni per -8, inclusi 8 e -1 e 2 e -4. Fai un elenco di tutti i possibili fattori prima di continuare.
Cerca i prodotti esterni e interni risultanti dai passaggi precedenti, per i quali la somma è bx. Usa tentativi ed errori per testare i fattori trovati nel passaggio precedente. Controlla la risposta moltiplicando usando il metodo FOIL. (3x + 2)(x - 4) = 3x^2 - 12x + 2x - 8 = 3x^2 - 10x - 8
Riferimenti
- Algebra introduttiva e intermedia; Marvin Bittinger e Judith Beecher; 2007
Circa l'autore
Con sede ad Atene, in Georgia, Sophie Watson ha iniziato a lavorare come freelance nel 2010 come appaltatrice indipendente. Scrive per vari siti Web, coprendo argomenti tra cui salute, moda, interior design, genitorialità e riparazioni domestiche. Watson sta attualmente conseguendo una laurea in contabilità presso l'Università di Phoenix.
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