Una serie di Taylor è un metodo numerico per rappresentare una data funzione. Questo metodo trova applicazione in molti campi dell'ingegneria. In alcuni casi, come il trasferimento di calore, l'analisi differenziale produce un'equazione che si adatta alla forma di una serie di Taylor. Una serie di Taylor può anche rappresentare un integrale se l'integrale di quella funzione non esiste analiticamente. Queste rappresentazioni non sono valori esatti, ma calcolare più termini nella serie renderà l'approssimazione più accurata.
Scegli un centro per la serie di Taylor. Questo numero è arbitrario, ma è una buona idea scegliere un centro dove c'è simmetria nella funzione o dove il valore del centro semplifica la matematica del problema. Se stai calcolando la rappresentazione in serie di Taylor di f (x) = sin (x), un buon centro da usare è a = 0.
Determina il numero di termini che desideri calcolare. Più termini usi, più accurata sarà la tua rappresentazione, ma poiché una serie di Taylor è una serie infinita, è impossibile includere tutti i termini possibili. L'esempio sin (x) utilizzerà sei termini.
Calcola le derivate necessarie per la serie. Per questo esempio, devi calcolare tutte le derivate fino alla sesta derivata. Poiché la serie di Taylor inizia da "n = 0", devi includere la derivata "0a", che è solo la funzione originale. 0a derivata = sin (x) 1a = cos (x) 2a = -sin (x) 3a = -cos (x) 4a = sin (x) 5a = cos (x) 6a = -sin (x)
Calcola il valore per ogni derivata al centro che hai scelto. Questi valori saranno i numeratori per i primi sei termini della serie di Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Usa i calcoli della derivata e il centro per determinare i termini della serie di Taylor. 1° mandato; n = 0; (0/0!)(x - 0)^0 = 0/1 2° termine; n = 1; (1/1!)(x - 0)^1 = x/1! 3° mandato; n = 2; (0/2!)(x - 0)^2 = 0/2! 4° mandato; n = 3; (-1/3!)(x - 0)^3 = -x^3/3! 5° mandato; n = 4; (0/4!)(x - 0)^4 = 0/4! 6° mandato; n = 5; (1/5!)(x - 0)^5 = x^5/5! Serie di Taylor per sin (x): sin (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! + ...
Eliminare i termini zero nella serie e semplificare l'espressione algebricamente per determinare la rappresentazione semplificata della funzione. Questa sarà una serie completamente diversa, quindi i valori per "n" usati in precedenza non si applicano più. peccato (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! +... peccato (x) = x/1! - (x^3)/3! +(x^5)/5! -... Poiché i segni si alternano tra positivo e negativo, la prima componente dell'equazione semplificata deve essere (-1)^n, poiché non ci sono numeri pari nella serie. Il termine (-1)^n dà segno negativo quando n è dispari e segno positivo quando n è pari. La rappresentazione in serie dei numeri dispari è (2n + 1). Quando n = 0, questo termine è uguale a 1; quando n = 1, questo termine è uguale a 3 e così via all'infinito. In questo esempio, usa questa rappresentazione per gli esponenti di x e i fattoriali nel denominatore
Utilizzare la rappresentazione della funzione al posto della funzione originale. Per equazioni più avanzate e più difficili, una serie di Taylor può rendere risolvibile un'equazione irrisolvibile, o almeno fornire una soluzione numerica ragionevole.