Un esponente positivo ti dice quante volte moltiplicare il numero base per se stesso. Ad esempio, il termine esponenzialesì3 equivale asì × sì × sì, osìmoltiplicato per se stesso due volte. Una volta compreso questo concetto di base, puoi iniziare ad aggiungere livelli extra come esponenti negativi, esponenti frazionari o anche una combinazione di entrambi.
TL; DR (troppo lungo; non letto)
Un esponente frazionario negativosì −m/n può essere scomposto nella forma:
1 / (n√sì)m
Scomporre i poteri negativi
Prima di fattorizzare esponenti negativi e frazionari, diamo una rapida occhiata a come fattorizzare gli esponenti negativi, o potenze negative, in generale. Un esponente negativo fa esattamente l'inverso di un esponente positivo. Quindi, mentre un esponente positivo comeun4 ti dice di moltiplicareunda solo tre volte (quindi ce ne sono quattro in totale nell'espressione), oun × un × un × un,vedere un esponente negativo ti dice didividerediunquattro volte: così
a^{-4} = \frac{1}{a × a × a × a}
Oppure, per dirla più formalmente:
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
Fattorizzazione degli esponenti frazionari
Il prossimo passo è imparare a fattorizzare gli esponenti frazionari. Iniziamo con un esponente frazionario molto semplice, comeX1/sì. Quando vedi un esponente frazionario come questo, significa che devi prendere ilsìesima radice del numero base. Per dirla più formalmente:
x^{1/y} = \sqrt[y]{x}
Se ciò sembra confuso, alcuni esempi più concreti possono aiutare:
y^{1/3} = \sqrt[3]{y} \\ b^{1/2 }= \sqrt{b}
(Ricorda,Xequivale a 2√X;ma questa espressione è così comune che il 2, o numero di indice, viene omesso.)
8^{1/3} = \sqrt[3]{8 }= 2
E se il numeratore dell'esponente frazionario non fosse 1? Quindi il valore di quel numero rimane come esponente, applicato all'intero termine "radice". In termini formali, ciò significa:
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
Come esempio più concreto, considera questo:
a^{b/5} = (\sqrt[5]{a})^b
Combinazione di esponenti negativi e frazionari
Quando si tratta di fattorizzare esponenti frazionari negativi, puoi combinare ciò che hai imparato sulla fattorizzazione di espressioni con esponenti negativi e quelli con esponenti frazionari.
Ricorda,
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
indipendentemente da cosa c'è dentrosìindividuare;sìpotrebbe anche essere una frazione.
Quindi se hai un'espressioneX −un/b, è uguale a 1/(Xun/b). Ma puoi semplificare ulteriormente applicando anche ciò che sai sugli esponenti frazionari al termine nel denominatore della frazione.
Ricorda,
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
o, per usare le variabili con cui hai già a che fare,
x^{a/b} = (\sqrt[b]{x})^a
Quindi, facendo un ulteriore passo avanti nella semplificazioneX −un/b, avete
x^{-a/b} = \frac{1}{x^{a/b}} = \frac{1}{(\sqrt[b]{x})^a}
Questo è quanto puoi semplificare senza saperne di piùX, boun.Ma se sai di più su uno di questi termini, potresti essere in grado di semplificare ulteriormente.
Un altro esempio di semplificazione degli esponenti negativi frazionari
Per illustrare ciò, ecco un altro esempio con un po' più di informazioni aggiunte:
Semplificare
16^{-4/8}
Innanzitutto, hai notato che −4/8 può essere ridotto a −1/2? Quindi hai 16 −1/2, che sembra già molto più amichevole (e forse anche più familiare) del problema originale.
Semplificando come prima, arriverai a
16^{-1/2} = \frac{1}{(\sqrt[2]{16})^1}
che di solito è scritto semplicemente come
\frac{1}{\sqrt{16}}
E poiché sai (o puoi calcolare rapidamente) che √16 = 4, puoi semplificare l'ultimo passaggio per:
16^{-4/8} = \frac{1}{4}