In matematica, una funzione è una regola che mette in relazione ogni elemento in un insieme, chiamato dominio, esattamente a un elemento in un altro insieme, chiamato intervallo. Su unaX-sìasse, il dominio è rappresentato sulX-axis (asse orizzontale) e il dominio sulsì-axis (asse verticale). Una regola che mette in relazione un elemento nel dominio con più di un elemento nell'intervallo non è una funzione. Questo requisito significa che, se si rappresenta graficamente una funzione, non è possibile trovare una linea verticale che attraversi il grafico in più di un punto.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Una relazione è una funzione solo se mette in relazione ogni elemento nel suo dominio con un solo elemento nell'intervallo. Quando si rappresenta graficamente una funzione, una linea verticale la intersecherà in un solo punto.
Rappresentazione matematica
I matematici di solito rappresentano le funzioni con le lettere "f(X)," anche se qualsiasi altra lettera funziona altrettanto bene. Hai letto le lettere come "
fdiX." Se scegli di rappresentare la funzione comeg(sì), lo leggeresti come "gdisì." L'equazione per la funzione definisce la regola in base alla quale il valore di inputXsi trasforma in un altro numero. Ci sono un numero infinito di modi per farlo. Ecco tre esempi:f (x) = 2x \\ \,\\ g (y) = y^2 + 2y + 1 \\ \,\\ p (m) = \frac{1}{\sqrt{m - 3}}
Determinazione del dominio
L'insieme dei numeri per i quali la funzione "funziona" è il dominio. Possono essere tutti i numeri o un insieme specifico di numeri. Il dominio può anche essere composto da tutti i numeri tranne uno o due per i quali la funzione non funziona. Ad esempio, il dominio per la funzione
f (x) = \frac{1}{2-x}
è tutti i numeri tranne 2, perché quando inserisci due, il denominatore è 0 e il risultato è indefinito. Il dominio per
\frac{1}{4 - x^2}
d'altra parte, è tutti i numeri tranne +2 e -2 perché il quadrato di entrambi questi numeri è 4.
Puoi anche identificare il dominio di una funzione guardando il suo grafico. Partendo dall'estrema sinistra e spostandosi verso destra, disegna linee verticali attraverso ilX-asse. Il dominio è tutti i valori diXper cui la linea interseca il grafico.
Quando una relazione non è una funzione?
Per definizione, una funzione mette in relazione ogni elemento nel dominio con un solo elemento nell'intervallo. Ciò significa che ogni linea verticale tracciata attraverso ilX-axis può intersecare la funzione in un solo punto. Funziona per tutte le equazioni lineari e le equazioni di potenza superiore in cui solo il termine x è elevato a un esponente. Non sempre funziona per equazioni in cui entrambi iXesìi termini sono elevati a potenza. Per esempio,X2 + sì2 = un2 definisce un cerchio. Una linea verticale può intersecare un cerchio in più di un punto, quindi questa equazione non è una funzione.
In generale, una relazionef(X) = sìè una funzione solo se, per ogni valore diXche lo colleghi, ottieni un solo valore persì. A volte l'unico modo per sapere se una data relazione è una funzione o meno è provare vari valori per x per vedere se producono valori univoci persì.
Esempi:Le seguenti equazioni definiscono le funzioni?
y = 2x +1
Questa è l'equazione di una retta con pendenza 2 esì-intercetta 1, quindiÈuna funzione.
y^2 = x + 1
PermettereX= 3. Il valore per y può quindi essere ±2, quindi questoNON Èuna funzione.
y^3 = x^2
Non importa quale valore abbiamo impostato perX, otterremo un solo valore persì, così questoÈuna funzione.
y^2 = x^2
Perchésì = ±√X2, QuestoNON Èuna funzione.