Tutti gli studenti di matematica e molti studenti di scienze incontrano i polinomi ad un certo punto durante i loro studi, ma per fortuna sono facili da affrontare una volta apprese le basi. Le operazioni principali che dovrai eseguire con le espressioni polinomiali sono l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e dividere, e sebbene la divisione possa essere complessa, la maggior parte delle volte sarai in grado di gestire le basi con facilità.
Polinomi: definizione ed esempi
Polinomio descrive un'espressione algebrica con uno o più termini che coinvolgono una variabile (o più di uno), con esponenti ed eventualmente costanti. Non possono includere la divisione per variabile, non possono avere esponenti negativi o frazionari e devono avere un numero finito di termini.
Questo esempio mostra un polinomio:
x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4
E questo ne mostra un altro:
xy^2 - 3 x + y
Ci sono molti modi per classificare i polinomi, anche per grado (la somma degli esponenti sul termine di potenza più alta, ad es. primo esempio) e dal numero di termini che contengono, come monomi (un termine), binomi (due termini) e trinomi (tre termini).
Addizione e sottrazione di polinomi
L'aggiunta e la sottrazione di polinomi dipende dalla combinazione di termini "simili". Un termine simile è uno con le stesse variabili ed esponenti di un altro, ma il numero per cui vengono moltiplicati (il coefficiente) può essere diverso. Per esempio,X2 e 4X 2 sono come i termini perché hanno la stessa variabile ed esponente, e 2xy 4 e 6xy 4 sono come i termini pure. Tuttavia,X2, X3, X2sì2 esì2 non sono come i termini, perché ognuno contiene diverse combinazioni di variabili ed esponenti.
Aggiungi polinomi combinando termini simili nello stesso modo in cui faresti con altri termini algebrici. Ad esempio, guarda il problema:
(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)
Raccogli i termini simili per ottenere:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
E poi valutare semplicemente sommando i coefficienti e combinando in un unico termine:
10 x^3 + 5 x + y
Nota che non puoi fare nulla consìperché non ha un termine simile.
La sottrazione funziona allo stesso modo:
(4 x^4 + 3 anni^2 + 6 anni) - (2 x^4 + 2 anni^2 + anni)
Innanzitutto, nota che tutti i termini nella parentesi di destra vengono sottratti da quelli nella parentesi di sinistra, quindi scrivilo come:
4 x^4 + 3 a^2 + 6 a - 2 x^4 - 2 a^2- a
Combina termini simili e valuta per ottenere:
(4 x^4 - 2 x^4) + (3 y^2 - 2 y^2) + (6 y - y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
Per un problema come questo:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)
Nota che il segno meno viene applicato all'intera espressione nella parentesi destra, quindi i due segni negativi prima di 3X2 diventa un segno di addizione:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2
Poi calcola come prima.
Moltiplicazione delle espressioni polinomiali
Moltiplicare le espressioni polinomiali usando la proprietà distributiva della moltiplicazione. In breve, moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo. Guarda questo semplice esempio:
4 x × (2 x^2 + y)
Lo risolvi usando la proprietà distributiva, quindi:
\begin{allineato} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{allineato}
Affronta problemi più complicati allo stesso modo:
\begin{allineato} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \\ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 y^3x^2 + 4 y ^3x + 15x^3 + 6x^2 \end{allineato}
Questi problemi possono complicarsi per i gruppi più grandi, ma il processo di base è sempre lo stesso.
Divisione di espressioni polinomiali
La divisione delle espressioni polinomiali richiede più tempo, ma puoi affrontarla gradualmente. Guarda l'espressione:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}
Innanzitutto, scrivi l'espressione come una lunga divisione, con il divisore a sinistra e il dividendo a destra:
x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}
Dividi il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore e metti il risultato sulla riga sopra la divisione. In questo caso,X2 ÷ X = X, così:
\begin{allineato} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{allineato}
Moltiplica questo risultato per l'intero divisore, quindi in questo caso, (X + 2) × X = X2 + 2 X. Metti questo risultato sotto la divisione:
\begin{allineato} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{allineato}
Sottrai il risultato sulla nuova riga dai termini direttamente sopra di essa (nota che tecnicamente cambi il segno, quindi se avessi un risultato negativo lo aggiungeresti invece) e mettilo su una riga sotto di essa. Sposta verso il basso anche il termine finale dal dividendo originale.
\begin{allineato} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{allineato}
Ora ripeti il processo con il divisore e il nuovo polinomio sulla riga inferiore. Quindi dividi il primo termine del divisore (X) per il primo termine del dividendo (−5X) e metti questo sopra:
\begin{allineato} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{allineato}
Moltiplica questo risultato (−5X ÷ X= −5) dal divisore originale (quindi (X + 2) × −5 = −5 X-10) e metti il risultato su una nuova riga di fondo:
\begin{allineato} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \end{allineato}
Quindi sottrai la linea di fondo da quella successiva verso l'alto (quindi in questo caso cambia il segno e aggiungi) e metti il risultato su una nuova linea di fondo:
\begin{allineato} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ & 0 \quad 0 \end{allineato}
Poiché ora c'è una riga di zeri in basso, il processo è terminato. Se rimanessero termini diversi da zero, ripeteresti di nuovo il processo. Il risultato è nella riga superiore, quindi:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5
Questa divisione e alcune altre possono essere risolte più semplicemente se puoi fattorizzare il polinomio nel dividendo.