Trucchi per scomporre in fattori le equazioni quadratiche

Le equazioni quadratiche sono formule che possono essere scritte nella forma Ax^2 + Bx + C = 0. A volte, un'equazione quadratica può essere semplificata fattorizzando o esprimendo l'equazione come prodotto di termini separati. Questo può rendere l'equazione più facile da risolvere. I fattori a volte possono essere difficili da identificare, ma ci sono trucchi che possono rendere il processo più semplice.

Esaminare l'equazione quadratica per determinare se esiste un numero e/o una variabile che può dividere ciascun termine dell'equazione. Ad esempio, considera l'equazione 2x^2 + 10x + 8 = 0. Il numero più grande che può dividersi equamente in ciascun termine dell'equazione è 2, quindi 2 è il massimo comun divisore (GCF).

Dividi ogni termine nell'equazione per il GCF e moltiplica l'intera equazione per il GCF. Nell'equazione di esempio 2x^2 + 10x + 8 = 0, questo risulterebbe in 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2).

Semplifica l'espressione completando la divisione in ogni termine. Non ci dovrebbero essere frazioni nell'equazione finale. Nell'esempio, ciò risulterebbe in 2(x^2 + 5x + 4) = 0.

Esamina l'equazione quadratica per vedere se è nella forma Ax^2 + 0x – C = 0, dove A = y^2 e C = z^2. Se questo è il caso, l'equazione quadratica esprime la differenza di due quadrati. Ad esempio, nell'equazione 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 e C = 9 = 3^2, quindi y = 2 ez = 3.

Fattorizzare l'equazione nella forma (yx + z)(yx – z) = 0. Nell'equazione di esempio, y = 2 ez = 3; quindi l'equazione quadratica fattorizzata è (2x + 3)(2x – 3) = 0. Questa sarà sempre la forma fattorizzata di un'equazione quadratica che è la differenza dei quadrati.

Esamina l'equazione quadratica per vedere se è un quadrato perfetto. Se l'equazione quadratica è un quadrato perfetto, può essere scritta nella forma y^2 + 2yz + z^2, come l'equazione 4x^2 + 12x + 9 = 0, che può essere riscritta come (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2. In questo caso, y = 2x ez = 3.

Controlla se il termine 2yz è positivo. Se il termine è positivo, i fattori dell'equazione quadratica perfetta sono sempre (y + z) (y + z). Ad esempio, nell'equazione sopra, 12x è positivo, quindi i fattori sono (2x + 3)(2x + 3) = 0.

Controlla se il termine 2yz è negativo. Se il termine è negativo, i fattori sono sempre (y – z)(y – z). Ad esempio, se l'equazione sopra avesse il termine -12x invece di 12x, i fattori sarebbero (2x – 3)(2x – 3) = 0.

Imposta la forma fattorizzata dell'equazione quadratica scrivendo (vx + w)(yx + z) = 0. Richiama le regole per la moltiplicazione FOIL (Primo, Fuori, Dentro, Ultimo). Poiché il primo termine dell'equazione quadratica è un Ax^2, entrambi i fattori dell'equazione devono includere una x.

Risolvi per v e y considerando tutti i fattori di A nell'equazione quadratica. Se A = 1, sia v che y saranno sempre 1. Nell'equazione di esempio x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1, quindi v e y possono essere risolti nell'equazione fattorizzata per ottenere (1x + w) (1x + z) = 0.

Determina se w e z sono positivi o negativi. Si applicano le seguenti regole: C = positivo e B = positivo; entrambi i fattori hanno segno + C = positivo e B = negativo; entrambi i fattori hanno segno – C = negativo e B = positivo; il fattore con il valore maggiore ha segno + C = negativo e B = negativo; il fattore con il valore più grande ha un segno - Nell'equazione di esempio del passaggio 2, B = -9 e C = +8, quindi entrambi i fattori dell'equazione avranno segni - e l'equazione fattorizzata può essere scritta come (1x – w)(1x – z) = 0.

Fai un elenco di tutti i fattori di C per trovare i valori di w e z. Nell'esempio sopra, C = 8, quindi i fattori sono 1 e 8, 2 e 4, -1 e -8 e -2 e -4. I fattori devono sommarsi a B, che è -9 nell'equazione di esempio, quindi w = -1 ez = -8 (o viceversa) e la nostra equazione è completamente fattorizzata come (1x – 1)(1x – 8) = 0.

Riduci l'equazione alla sua forma più semplice, usando il metodo del Greatest Common Factor elencato sopra. Ad esempio, nell'equazione 9x^2 + 27x – 90 = 0, il GCF è 9, quindi l'equazione si semplifica in 9(x^2 + 3x – 10).

Disegna un riquadro e dividilo in una tabella con due righe e due colonne. Metti Ax^2 dell'equazione semplificata nella riga 1, colonna 1 e C dell'equazione semplificata nella riga 2, colonna 2.

Moltiplica A per C e trova tutti i fattori del prodotto. Nell'esempio sopra, A = 1 e C = -10, quindi il prodotto è (1)(-10) = -10. I fattori di -10 sono -1 e 10, -2 e 5, 1 e -10 e 2 e -5.

Identificare quali dei fattori del prodotto AC si sommano a B. Nell'esempio, B = 3. I fattori di -10 che sommati danno 3 sono -2 e 5.

Moltiplica ciascuno dei fattori identificati per x. Nell'esempio sopra, ciò risulterebbe in -2x e 5x. Metti questi due nuovi termini nei due spazi vuoti del grafico, in modo che la tabella abbia questo aspetto:

x^2 | 5x

-2x | -10

Trova il GCF per ogni riga e colonna della casella. Nell'esempio, il CGF per la riga superiore è x e per la riga inferiore è -2. Il GCF per la prima colonna è x e per la seconda colonna è 5.

Scrivi l'equazione fattorizzata nella forma (w + v) (y + z) utilizzando i fattori identificati dalle righe del grafico per w e v e i fattori identificati dalle colonne del grafico per y e z. Se l'equazione è stata semplificata nel passaggio 1, ricorda di includere il GCF dell'equazione nell'espressione fattorizzata. Nel caso dell'esempio, l'equazione fattorizzata sarà 9(x – 2)(x + 5) = 0.

Assicurati che l'equazione sia in forma quadratica standard prima di iniziare uno dei metodi descritti.

Non è sempre facile identificare un quadrato perfetto o una differenza di quadrati. Se riesci a vedere rapidamente che l'equazione quadratica che stai cercando di scomporre in fattori è in una di queste forme, allora questo può essere di grande aiuto. Tuttavia, non perdere molto tempo a cercare di capirlo, poiché gli altri metodi potrebbero essere più veloci.

Controlla sempre il tuo lavoro moltiplicando i fattori usando il metodo FOIL. I fattori dovrebbero sempre moltiplicarsi per tornare all'equazione quadratica originale.