Le equazioni di valore assoluto possono essere un po' intimidatorie all'inizio, ma se continui così presto le risolverai facilmente. Quando stai cercando di risolvere equazioni di valore assoluto, è utile tenere a mente il significato di valore assoluto.
Definizione di valore assoluto
Ilvalore assolutodi un numeroX, scritto |X|, è la sua distanza da zero su una retta numerica. Ad esempio, -3 dista 3 unità da zero, quindi il valore assoluto di -3 è 3. Lo scriviamo così: | -3 | = 3.
Un altro modo di pensarci è chevalore assolutoè la "versione" positiva di un numero. Quindi il valore assoluto di -3 è 3, mentre il valore assoluto di 9, che è già positivo, è 9.
Algebricamente, possiamo scrivere aformula per valore assoluto absoluteche assomiglia a questo:
| x | = \begin{casi} x &\text{if } x≥ 0 \\ -x &\text{if } x ≤ 0 \end{casi}
Prendi un esempio doveX= 3. Poiché 3 ≥ 0, il valore assoluto di 3 è 3 (nella notazione del valore assoluto, ovvero: | 3 | = 3).
E se?X= −3? È minore di zero, quindi | -3 | = −( −3). L'opposto, o "negativo", di -3 è 3, quindi | -3 | = 3.
Risolvere equazioni in valore assoluto
Ora per alcune equazioni di valore assoluto. I passaggi generali per risolvere un'equazione di valore assoluto sono:
Isolare l'espressione del valore assoluto.
Risolvi la "versione" positiva dell'equazione.
Risolvi la "versione" negativa dell'equazione moltiplicando la quantità dall'altra parte del segno di uguale per -1.
Dai un'occhiata al problema di seguito per un esempio concreto dei passaggi.
Esempio: risolvi l'equazione perX:
| 3 + x | - 5 = 4
Dovrai ottenere | 3 +X| da solo sul lato sinistro del segno di uguale. Per fare ciò, aggiungi 5 su entrambi i lati:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Risolvere perXcome se non ci fosse il segno del valore assoluto!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
È facile: basta sottrarre 3 da entrambi i lati.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Quindi una soluzione dell'equazione è cheX = 6.
Ricomincia da | 3 +X| = 9. L'algebra nel passaggio precedente ha mostrato cheXpotrebbe essere 6. Ma poiché questa è un'equazione di valore assoluto, c'è un'altra possibilità da considerare. Nell'equazione sopra, il valore assoluto di "qualcosa" (3 +X) è uguale a 9. Certo, il valore assoluto di 9 positivo è uguale a 9, ma c'è anche un'altra opzione qui! Anche il valore assoluto di -9 è uguale a 9. Quindi il "qualcosa" sconosciuto potrebbe anche essere uguale a -9.
In altre parole:
3 + x = -9
Il modo rapido per arrivare a questa seconda versione è moltiplicare la quantità dall'altra parte del of è uguale all'espressione del valore assoluto (9, in questo caso) per −1, quindi risolvi l'equazione da Là.
Così:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( -1) \\ 3 + x = -9
Sottrai 3 da entrambi i membri per ottenere:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Quindi le due soluzioni sono:X= 6 oX = −12.
E il gioco è fatto! Questo tipo di equazioni richiede pratica, quindi non preoccuparti se all'inizio hai difficoltà. Continua così e sarà più facile!