Un'equazione quadratica è quella che contiene una singola variabile e in cui la variabile è al quadrato. La forma standard per questo tipo di equazione, che produce sempre una parabola quando viene rappresentata graficamente, èascia2 + bx + c= 0, doveun, becsono costanti. Trovare soluzioni non è così semplice come lo è per un'equazione lineare, e parte del motivo è che, a causa del termine al quadrato, ci sono sempre due soluzioni. È possibile utilizzare uno dei tre metodi per risolvere un'equazione quadratica. Puoi fattorizzare i termini, che funziona meglio con equazioni più semplici, oppure puoi completare il quadrato. Il terzo metodo consiste nell'utilizzare la formula quadratica, che è una soluzione generalizzata per ogni equazione quadratica.
La formula quadratica
Per un'equazione quadratica generale della formaascia2 + bx + c= 0, le soluzioni sono date da questa formula:
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} {2a}
Notare che il segno ± all'interno delle parentesi significa che ci sono sempre due soluzioni. Una delle soluzioni usa
\frac{−b +\sqrt{b^2 − 4ac} {2a}
e l'altra soluzione usa
\frac{−b -\sqrt{b^2 − 4ac} {2a}
Utilizzo della formula quadratica
Prima di poter utilizzare la formula quadratica, devi assicurarti che l'equazione sia in forma standard. Potrebbe non essere. AlcuniX2 i termini possono essere su entrambi i lati dell'equazione, quindi dovrai raccogliere quelli sul lato destro. Fai lo stesso con tutti i termini x e le costanti.
Esempio: trova le soluzioni dell'equazione
3x^2 - 12 = 2x (x -1)
Espandi le parentesi:
3x^2 - 12 = 2x^2 - 2x
Sottrai 2X2 e da entrambi i lati. Aggiungi 2Xad entrambi i lati
3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 2x^2 -2x^2 -2x + 2x \\ 3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 0 \\ x^2 - 2x -12 = 0
Questa equazione è in forma standardascia2 + bx + c= 0 doveun = 1, b= −2 ec = 12
La formula quadratica è
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} {2a}
Daun = 1, b= −2 ec= −12, questo diventa
x = \frac{−(-2) ±\sqrt{(-2)^2 − 4×1×(-12)} }{2×1}
x = \frac{2 ±\sqrt{(4+ 48} }{2} \\ \,\\ x = \frac{2 ±\sqrt{52} }{2} \\ \,\\ x = \ frac{2 ±7.21 }{2} \\ \,\\ x = \frac{9.21}{2} \text{ e } x = \frac{-5,21}{2} \\ \,\\ x = 4,605 \text{ e } x = −2.605
Altri due modi per risolvere equazioni quadratiche
Puoi risolvere equazioni di secondo grado tramite fattorizzazione. Per fare ciò, indovini più o meno una coppia di numeri che, sommati, danno la costantebe, moltiplicati tra loro, danno la costantec. Questo metodo può essere difficile quando sono coinvolte le frazioni. e non funzionerebbe bene per l'esempio precedente.
L'altro metodo è completare il quadrato. Se hai un'equazione in forma standard,ascia2 + bx + c= 0, mettica destra e aggiungere il termine (b/2)2 ad entrambi i lati. Ciò consente di esprimere il lato sinistro come (X + d)2, dovedè una costante. Puoi quindi prendere la radice quadrata di entrambi i lati e risolvere perX. Ancora una volta, l'equazione nell'esempio sopra è più facile da risolvere usando la formula quadratica.