Ogni studente di algebra ai livelli superiori deve imparare a risolvere equazioni quadratiche. Questi sono un tipo di equazione polinomiale che include una potenza di 2 ma nessuna superiore e hanno la forma generale:ascia2 + bx + c= 0. Puoi risolverli usando la formula dell'equazione quadratica, fattorizzando o completando il quadrato.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Prima cerca una fattorizzazione per risolvere l'equazione. Se non ce n'è uno ma ilbcoefficiente è divisibile per 2, completare il quadrato. Se nessuno dei due approcci è facile, usa la formula dell'equazione quadratica.
Usare la fattorizzazione per risolvere l'equazione
La fattorizzazione sfrutta il fatto che il membro destro dell'equazione quadratica standard è uguale a zero. Ciò significa che se puoi dividere l'equazione in due termini tra parentesi moltiplicati l'uno per l'altro, puoi calcolare le soluzioni pensando a cosa renderebbe ogni parentesi uguale a zero. Per fare un esempio concreto:
x^2 + 6x + 9 = 0
Confronta questo con il modulo standard:
ax^2 + bx + c = 0
Nell'esempio,un = 1, b= 6 ec= 9. La sfida della fattorizzazione è trovare due numeri che si sommano per dare il numero nelbindividuare e moltiplicare per ottenere il numero al posto dic.
Quindi, rappresentando i numeri condee, stai cercando numeri che soddisfino:
d + e = b
O in questo caso, conb = 6:
d + e = 6
E
d × e = c
O in questo caso, conc = 9:
d × e = 9
Concentrati sulla ricerca di numeri che sono fattori dic, quindi sommali per vedere se sono ugualib. Quando hai i tuoi numeri, inseriscili nel seguente formato:
(x + d) (x + e)
Nell'esempio sopra, entrambideesono 3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Se moltiplichi le parentesi, ti ritroverai di nuovo con l'espressione originale, e questa è una buona pratica per controllare la fattorizzazione. Puoi eseguire questo processo (moltiplicando a turno la prima, interna, esterna e poi l'ultima parte delle parentesi - vedi Risorse per maggiori dettagli) per vederlo al contrario:
\begin{allineato} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{allineato}
La fattorizzazione attraversa efficacemente questo processo al contrario, ma può essere difficile risolvere il problema modo giusto per fattorizzare l'equazione quadratica, e questo metodo non è l'ideale per ogni equazione quadratica per questo Motivo. Spesso devi indovinare una fattorizzazione e poi controllarla.
Il problema ora è fare in modo che una delle espressioni tra parentesi sia uguale a zero attraverso la scelta del valore perX. Se una delle parentesi è uguale a zero, l'intera equazione è uguale a zero e hai trovato una soluzione. Guarda l'ultima fase [(X + 3) (X+ 3) = 0] e vedrai che l'unica volta che le parentesi escono da zero è seX= −3. Nella maggior parte dei casi, tuttavia, le equazioni quadratiche hanno due soluzioni.
La fattorizzazione è ancora più difficile seunnon è uguale a uno, ma all'inizio è meglio concentrarsi su casi semplici.
Completare il quadrato per risolvere l'equazione
Completare il quadrato ti aiuta a risolvere equazioni quadratiche che non possono essere facilmente fattorizzate. Questo metodo può funzionare per qualsiasi equazione quadratica, ma alcune equazioni si adattano più di altre. L'approccio consiste nel trasformare l'espressione in un quadrato perfetto e risolverlo. Un quadrato perfetto generico si espande in questo modo:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
Per risolvere un'equazione quadratica completando il quadrato, ottieni l'espressione nella forma a destra di quanto sopra. Prima dividi il numero inbposizione per 2, quindi elevare al quadrato il risultato. Quindi per l'equazione:
x^2 + 8x = 0
Il coefficienteb= 8, quindib÷ 2 = 4 e (b ÷ 2)2 = 16.
Aggiungi questo a entrambi i lati per ottenere:
x^2 + 8x + 16 = 16
Nota che questa forma corrisponde alla forma quadrata perfetta, cond= 4, quindi 2d= 8 ed2 = 16. Ciò significa che:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
Inserisci questo nell'equazione precedente per ottenere:
(x + 4)^2 = 16
Ora risolvi l'equazione perX. Prendi la radice quadrata di entrambi i membri per ottenere:
x + 4 = \sqrt{16}
Sottrai 4 da entrambi i membri per ottenere:
x = \sqrt{16} - 4
La radice può essere positiva o negativa, e prendendo la radice negativa si ottiene:
x = -4 - 4 = -8
Trova l'altra soluzione con la radice positiva:
x = 4 - 4 = 0
Quindi l'unica soluzione diversa da zero è -8. Controlla questo con l'espressione originale per confermare.
Utilizzo della formula quadratica per risolvere l'equazione
La formula dell'equazione quadratica sembra più complicata degli altri metodi, ma è il metodo più affidabile e puoi usarla su qualsiasi equazione quadratica. L'equazione utilizza i simboli dell'equazione quadratica standard:
ax^2 + bx + c = 0
E afferma che:
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Inserisci i numeri appropriati al loro posto e lavora sulla formula da risolvere, ricordando di provare sia a sottrarre che ad aggiungere il termine della radice quadrata e annotare entrambe le risposte. Per il seguente esempio:
x^2 + 6x + 5 = 0
Aveteun = 1, b= 6 ec= 5. Quindi la formula dà:
\begin{allineato} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{aligned}
Prendendo il segno positivo si ottiene:
\begin{allineato} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{allineato}
E prendendo il segno negativo dà:
\begin{allineato} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{allineato}
Quali sono le due soluzioni dell'equazione.
Come determinare il metodo migliore per risolvere equazioni quadratiche
Cerca una fattorizzazione prima di provare qualsiasi altra cosa. Se riesci a individuarne uno, questo è il modo più rapido e semplice per risolvere un'equazione quadratica. Ricorda che stai cercando due numeri che sommano abcoefficiente e moltiplicare per dare ilccoefficiente. Per questa equazione:
x^2 + 5x + 6 = 0
Puoi individuare che 2 + 3 = 5 e 2 × 3 = 6, quindi:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
EX= -2 oX = −3.
Se non riesci a vedere una fattorizzazione, controlla se il ifbcoefficiente è divisibile per 2 senza ricorrere a frazioni. Se lo è, completare il quadrato è probabilmente il modo più semplice per risolvere l'equazione.
Se nessuno dei due approcci sembra adatto, usa la formula. Questo sembra l'approccio più difficile, ma se sei in un esame o in altro modo hai poco tempo, può rendere il processo molto meno stressante e molto più veloce.