Energia cinetica rotazionaledescrive l'energia del movimento risultante dalla rotazione o dal movimento circolare di un oggetto. Richiama questoenergia cinetica linearedi una massammuoversi con velocitàvè dato da 1/2mv2. Questo è un calcolo semplice per qualsiasi oggetto che si muove in un percorso rettilineo. Si applica al centro di massa dell'oggetto, consentendo all'oggetto di essere approssimato come massa puntiforme.
Ora, se vogliamo descrivere l'energia cinetica di un oggetto esteso sottoposto a un movimento più complesso, il calcolo diventa più complicato.
Potremmo fare approssimazioni successive rompendo l'oggetto esteso in piccoli pezzi, ognuno dei quali può essere approssimato come a punto massa, quindi calcolare l'energia cinetica lineare per ogni punto massa separatamente, e sommarli tutti per trovare il totale per il oggetto. Più piccolo scomponiamo l'oggetto, migliore è l'approssimazione. Nel limite in cui i pezzi diventano infinitesimali, questo si può fare con il calcolo.
Ma siamo fortunati! Quando si tratta di movimento rotatorio, c'è una semplificazione. Per un oggetto rotante, se descriviamo la sua distribuzione di massa attorno all'asse di rotazione in termini del suo momento d'inerzia,io, siamo quindi in grado di utilizzare una semplice equazione dell'energia cinetica rotazionale, discussa più avanti in questo articolo.
Momento d'inerzia
Momento d'inerziaè una misura di quanto sia difficile far sì che un oggetto cambi il suo movimento di rotazione attorno a un particolare asse. Il momento d'inerzia per un oggetto rotante dipende non solo dalla massa dell'oggetto, ma anche da come tale massa è distribuita attorno all'asse di rotazione. Più lontana dall'asse è distribuita la massa, più difficile è cambiare il suo moto di rotazione, e quindi maggiore è il momento d'inerzia.
Le unità SI per il momento d'inerzia sono kgm2 (che è coerente con la nostra nozione che dipende dalla massa e dalla distanza dall'asse di rotazione). I momenti di inerzia per diversi oggetti possono essere trovati in una tabella o dal calcolo.
Suggerimenti
Il momento d'inerzia per qualsiasi oggetto può essere trovato usando il calcolo e la formula per il momento d'inerzia di un punto massa.
Equazione dell'energia cinetica rotazionale
La formula per l'energia cinetica rotazionale è data da:
KE_{rot} = \frac{1}{2}Io\omega^2
Doveioè il momento d'inerzia dell'oggetto eωè la velocità angolare dell'oggetto in radianti al secondo (rad/s). L'unità SI per l'energia cinetica rotazionale è il joule (J).
La forma della formula dell'energia cinetica rotazionale è analoga all'equazione dell'energia cinetica traslazionale; il momento d'inerzia gioca il ruolo della massa e la velocità angolare sostituisce la velocità lineare. Si noti che l'equazione dell'energia cinetica rotazionale fornisce lo stesso risultato per una massa puntiforme dell'equazione lineare.
Se immaginiamo una massa puntiformemmuovendosi in un cerchio di raggiorcon velocitàv, allora la sua velocità angolare è ω = v/r e il suo momento d'inerzia è mr2. Entrambe le equazioni dell'energia cinetica danno lo stesso risultato, come previsto:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\cancel{r^2}v^2}{\cancel{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
Se un oggetto sta ruotando e il suo centro di massa si muove lungo un percorso rettilineo (come accade ad esempio con un pneumatico in movimento), allora ilenergia cinetica totaleè la somma dell'energia cinetica rotazionale e delle energie cinetiche traslazionali:
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}io\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
Esempi di utilizzo della formula dell'energia cinetica rotazionale
La formula dell'energia cinetica rotazionale ha molte applicazioni. Può essere utilizzato per calcolare l'energia cinetica semplice di un oggetto rotante, per calcolare l'energia cinetica di un oggetto che rotola (un oggetto che subisce sia un movimento rotatorio che traslatorio) e da risolvere per altro sconosciuti. Considera i tre esempi seguenti:
Esempio 1:La Terra ruota attorno al proprio asse circa una volta ogni 24 ore. Se assumiamo che abbia una densità uniforme, qual è la sua energia cinetica rotazionale? (Il raggio della terra è 6,37 × 106 m, e la sua massa è 5,97 × 1024 kg.)
Per trovare l'energia cinetica rotazionale, dobbiamo prima trovare il momento d'inerzia. Approssimando la Terra come una sfera solida, otteniamo:
I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5.97\times10^{24}\text{ kg})(6.37\times10^6\text{ m})^2 = 9,69\times10^{37}\testo{ kgm}^2
La velocità angolare è di 2π radianti/giorno. Convertire questo in rad/s dà:
2\pi\frac{\text{radianti}}{\cancel{\text{giorno}}}\frac{1\cancel{\text{ giorno}}}{86400\text{ secondi}} = 7,27\times10^ {-5} \text{ rad/s}
Quindi l'energia cinetica rotazionale della Terra è quindi:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9.69\times10^{37}\text{ kgm}^2)(7.27\times10^{- 5}\text{ rad/s})^2 = 2,56\times 10^{29}\text{ J}
Fatto divertente: questo è più di 10 volte l'energia totale che il sole emette in un minuto!
Esempio 2:Un cilindro uniforme di massa 0,75 kg e raggio 0,1 m rotola sul pavimento a una velocità costante di 4 m/s. Qual è la sua energia cinetica?
L'energia cinetica totale è data da:
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
In questo caso, I = 1/2 mr2 è il momento d'inerzia per un cilindro solido, eωè correlato alla velocità lineare tramite = v/r.
Semplificando l'espressione per l'energia cinetica totale e inserendo i valori si ottiene:
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0.75\text{ kg}) (4\testo{ m/s}) = 2,25\testo{ J}
Nota che non abbiamo nemmeno bisogno di usare il raggio! Si è annullato a causa della relazione diretta tra velocità di rotazione e velocità lineare.
Esempio 3:Uno studente in bicicletta scende per una collina dal riposo. Se l'altezza verticale della collina è 30 m, quanto velocemente sta andando lo studente in fondo alla collina? Supponiamo che la bicicletta pesi 8 kg, il ciclista pesi 50 kg, ogni ruota pesi 2,2 kg (inclusi nel peso della bicicletta) e ogni ruota abbia un diametro di 0,7 m. Approssimare le ruote come cerchi e supporre che l'attrito sia trascurabile.
Qui possiamo usare la conservazione dell'energia meccanica per trovare la velocità finale. L'energia potenziale in cima alla collina viene trasformata in energia cinetica in fondo. Quell'energia cinetica è la somma dell'energia cinetica di traslazione dell'intero sistema persona + bicicletta e le energie cinetiche di rotazione dei pneumatici.
Energia totale del sistema:
E_{tot} = PE_{top} = mgh = (50\text{ kg} + 8\text{ kg})(9,8\text{ m/s}^2)(30\text{ m}) = 17.052\ testo{J}
La formula per l'energia totale in termini di energie cinetiche alla base della collina è:
E_{tot} = KE_{fondo} = \frac{1}{2}I_{pneumatici}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\times m_{pneumatico} \times r_{pneumatico}^2)(v/r_{pneumatico})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{pneumatico}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{pneumatico} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
Risolvere pervdà:
v = \sqrt{\frac{E_{tot}}{m_{pneumatico} + \frac{1}{2}m_{tot}}}
Infine, inserendo i numeri otteniamo la nostra risposta:
v = \sqrt{\frac{17.052\text{ J}}{2.2\text{ kg} + \frac{1}{2}58\text{ kg}}} = 23,4 \text{ m/s}