I tassi di cambiamento si manifestano ovunque nella scienza, e specialmente in fisica, attraverso quantità come velocità e accelerazione. I derivati descrivono il tasso di variazione di una quantità rispetto a un'altra matematicamente, ma calcolando a volte possono essere complicati e potresti essere presentato con un grafico piuttosto che una funzione nell'equazione modulo. Se ti viene presentato un grafico di una curva e devi trovare la derivata da esso, potresti non essere in grado di essere accurato come con un'equazione, ma puoi facilmente fare una stima solida.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Scegli un punto sul grafico per trovare il valore della derivata a.
Disegna una linea retta tangente alla curva del grafico in questo punto.
Prendi la pendenza di questa linea per trovare il valore della derivata nel punto scelto sul grafico.
Al di fuori dell'impostazione astratta della differenziazione di un'equazione, potresti essere un po' confuso su cosa sia realmente una derivata. In algebra, una derivata di una funzione è un'equazione che ti dice il valore della "pendenza" della funzione in qualsiasi punto. In altre parole, ti dice quanto cambia una quantità data una piccola variazione nell'altra. Su un grafico, il gradiente o pendenza della linea ti dice quanto la variabile dipendente (posizionata sul
sì-asse) cambia con la variabile indipendente (sulX-asse).Per i grafici a linee rette, si determina il tasso di variazione (costante) calcolando la pendenza del grafico. Le relazioni descritte dalle curve non sono così facili da gestire, ma il principio secondo cui la derivata significa solo la pendenza (in quel punto specifico) è ancora valido.
Per le relazioni descritte dalle curve, la derivata assume un valore diverso in ogni punto lungo la curva. Per stimare la derivata del grafico, devi scegliere un punto in cui prendere la derivata. Ad esempio, se hai un grafico che mostra la distanza percorsa rispetto al tempo, su un grafico in linea retta, la pendenza ti dirà la velocità costante. Per velocità che cambiano nel tempo, il grafico sarebbe una curva, ma una linea retta che tocca appena il curva in un punto (una linea tangente alla curva) rappresenta il tasso di variazione in quello specifico punto.
Scegli un punto in cui devi conoscere la derivata. Utilizzando la distanza percorsa vs. esempio di tempo, selezionare l'ora in cui si desidera conoscere la velocità di marcia. Se hai bisogno di conoscere la velocità in più punti diversi, puoi eseguire questo processo per ogni singolo punto. Se vuoi conoscere la velocità 15 secondi dopo l'inizio del movimento, scegli il punto sulla curva a 15 secondi sulX-asse.
Disegna una linea tangente alla curva nel punto che ti interessa. Prenditi il tuo tempo quando lo fai, perché è la parte più importante e più impegnativa del processo. La tua stima sarà migliore se disegnerai una linea tangente più accurata. Tieni un righello fino al punto sulla curva e regola il suo orientamento in modo che la linea che disegna saràsolotocca la curva nel singolo punto che ti interessa.
Disegna la tua linea finché il grafico lo consentirà. Assicurati di poter leggere facilmente due valori per entrambiXesìcoordinate, una vicino all'inizio della linea e una vicino alla fine. Non è assolutamente necessario tracciare una linea lunga (tecnicamente è adatta qualsiasi linea retta), ma le linee più lunghe tendono ad essere più facili da misurare la pendenza.
Individua due punti sulla tua linea e prendi nota delXesìcoordinate per loro. Ad esempio, immagina la tua linea tangente come due punti notevoli aX = 1, sì= 3 eX = 10, sì= 30, che puoi chiamare Punto 1 e Punto 2. Usando i simboliX1 esì1 per rappresentare le coordinate del primo punto eX2 esì2 per rappresentare le coordinate del secondo punto, la pendenzamè dato da:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Questo ti dice la derivata della curva nel punto in cui la linea tocca la curva. Nell'esempio,X1 = 1, X2 = 10, sì1 = 3 esì2 = 30, quindi:
\begin{allineato} m &= \frac{30 - 3}{10 - 1} \\ \,\\ &= \frac{27}{9} \\ \,\\ &=9 \end{allineato}
Nell'esempio, questo risultato sarebbe la velocità nel punto scelto. Quindi se ilX-asse è stato misurato in secondi e ilsì-asse è stato misurato in metri, il risultato significherebbe che il veicolo in questione stava viaggiando a 3 metri al secondo. Indipendentemente dalla quantità specifica che stai calcolando, il processo di stima della derivata è lo stesso.