Le equazioni lineari (equazioni i cui grafici sono una linea) possono essere scritte in più formati, mamodulo standarddi un'equazione lineare si presenta così:
Ax + Per = C
UN, BeCpuò essere qualsiasi numero, inclusi i numeri negativi, zero e uno! Quindi gli esempi di modulo standard possono assomigliare a questo:
3x + 7y = 10
doveUN = 3, B= 7 eC = 10.
Oppure possono assomigliare a questo:
x + 5y = 6
In questo caso,UN = 1, B= 5 eC = 6.
O questo:
8y = 9
In questo caso,UN= 0, ecco perchéXnon compare nell'equazione.B= 8 eC= 9, come ti aspetteresti.
Ed eccone un altro:
3x − 5y = 12
Qui,UN = 3, B= −5 eC= 12. Notare che in questo caso,Bè negativo cinque!
La forma standard di un'equazione lineare èAscia + Di = C, doveUN, BeCpuò essere qualsiasi numero.
Perché il modulo standard è utile?
Il modulo standard è ottimo per trovare ilXesìintercettadi un grafico, cioè il punto in cui il grafico interseca ilX-asse e il punto in cui interseca ilsì-asse. Inoltre, quando si risolvono sistemi di equazioni - trovando il punto in cui due o più funzioni si intersecano - le equazioni sono spesso scritte in forma standard.
Trasformare un'equazione in una forma standard
Puoi trasformare un'equazione scritta in altri formati in un formato standard. Puoi anche scrivere un'equazione in forma standard se ti vengono dati solo due punti su una linea, anche se il modo più semplice per farlo è passare prima attraverso altri formati. In questo prossimo esempio, tratteremo come fare entrambe queste cose: scrivere un'equazione in forma standard quando ti vengono dati solo due punti e modificare altri formati di equazioni in forma standard.
Esempio: Prendi questi due punti: (1,1) e (2,3) e scrivi l'equazione della retta in forma standard.
Seguiremo questi passaggi:
- Trova la pendenza.
- Scrivi l'equazione nella forma punto-pendenza.
- Trasforma l'equazione nella forma intercetta pendenza.
- Trasforma l'equazione in forma standard.
Ilpendenzaè quanto è ripida la nostra linea. In termini algebrici, è il cambiamento insìdiviso per la variazione diX. Se abbiamo due punti, (X1, sì1) e (X2, sì2), la pendenza è:
\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Quindi per il nostro esempio, i nostri punti sono (1,1) e (2,3) quindi la pendenza è:
\begin{aligned} \text{slope} &= \frac{3 - 1}{2 - 1} \\ \,\\ &=\frac{2}{1} = 2 \end{aligned}
Ricordati cheforma punto-pendenzaSomiglia a questo:
y - y_1 = m (x - x_1) .
Xesìsono solo le nostre variabili, maX1 esì1 sono le coordinate di un punto specifico sulla linea emè la pendenza.
Quindi colleghiamo la pendenza del nostro esempio e uno dei nostri punti, (1,1), per creare una forma punto-pendenza dell'equazione.
Forma punto-pendenza:
y - 1 = 2(x - 1)
Ora semplifica:
y - 1 = 2x - 2
Forma intercetta pendenzaha questo formato:
y = mx + b
dovemè la pendenza della linea ebè ilsì-intercettare.
Per passare dalla forma punto-pendenza alla forma pendenza-intercetta, vogliamo otteneresìda solo sul lato sinistro dell'equazione.
In questo momento abbiamosì − 1 = 2X− 2. Quindi aggiungiamo 1 a entrambi i lati in modo da otteneresìda solo:
y = 2x − 1
Quando abbiamo aggiunto 1 sul lato sinistro, si è annullato con -1. Quando abbiamo aggiunto 1 sul lato destro, l'abbiamo aggiunto alla costante che era già presente e abbiamo ottenuto -2 + 1 = -1.
Ricorda che il modulo standard è simile a questo:
Ax + Per = C
Quindi spostiamo il nostro 2Xall'altro lato del segno di uguale sottraendo 2Xda entrambi i lati:
-2x + y = 2
Quando abbiamo sottratto 2Xsul lato destro, si è cancellato. Quando lo abbiamo sottratto a sinistra, lo abbiamo messo davanti alsìquindi è nella nostra forma piuttosto standard.
Quindi la forma standard di questa equazione è -2X + sì= 2, doveUN = −2, B= 1 eC = 2.
Congratulazioni! Hai appena trasformato un'equazione dalla forma pendenza-intercetta alla forma standard e hai imparato a scrivere un'equazione in forma standard usando solo due punti.