La trigonometria può sembrare un argomento piuttosto astratto. Termini arcani come "peccato" e "cos" semplicemente non sembrano corrispondere a nulla nella realtà, ed è difficile capirli come concetti. Il cerchio unitario aiuta sostanzialmente in questo, offrendo una spiegazione semplice di quali sono i numeri che ottieni quando prendi il seno, il coseno o la tangente di un angolo. Per qualsiasi studente di scienze o matematica, la comprensione del cerchio unitario può davvero rafforzare la tua comprensione della trigonometria e di come utilizzare le funzioni.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Un cerchio unitario ha raggio uno. Immagina unxysistema di coordinate a partire dal centro di questo cerchio. Gli angoli del punto sono misurati da è doveX= 1 esì= 0, sul lato destro del cerchio. Gli angoli aumentano man mano che ci si sposta in senso antiorario.
Usando questo framework, esìper ilsì-coordinare eXper ilX-coordinata del punto sulla circonferenza:
peccatoθ = sì
cosθ = X
E conseguentemente:
tanθ = sì / X
Che cos'è il cerchio unitario?
Un cerchio "unitario" ha raggio 1. In altre parole, la distanza dal centro del cerchio a qualsiasi parte del bordo è sempre 1. L'unità di misura non ha molta importanza, perché la cosa più importante del cerchio unitario è che rende molte equazioni e calcoli molto più semplici.
Serve anche come base utile per esaminare le definizioni degli angoli. Immagina che il centro del cerchio si trovi al centro di un sistema di coordinate con anX-asse in esecuzione orizzontale e asì-asse che corre verticalmente. Il cerchio attraversa ilX-asse aX = 1, sì= 0. Scienziati e matematici definiscono l'angolo da quel punto muovendosi in senso antiorario. Quindi il puntoX =1, sì= 0 sul cerchio forma un angolo di 0°.
Le definizioni di peccato e cos con il cerchio unitario
Le definizioni ordinarie di sin, cos e tan date agli studenti si riferiscono ai triangoli. Essi affermano:
\sin θ = \frac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}} \\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}} \\ \, \\ \tan = \frac{\sin }{\cos }
Il "opposto" si riferisce alla lunghezza del lato del triangolo opposto all'angolo, "adiacente" si riferisce alla lunghezza del lato vicino all'angolo e "ipotenusa" si riferisce alla lunghezza del lato diagonale del of triangolo.
Immagina di creare un triangolo in modo che l'ipotenusa sia sempre il raggio del cerchio unitario, con un angolo al bordo del cerchio e uno al centro. Ciò significa che ipotenusa = 1 nelle equazioni sopra, quindi i primi due diventano:
\sin = \frac{\text{opposto}}{1} = \text{opposto}\\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{adiacente}}{1} = \text{adiacente} \\
Se fai dell'angolo in questione quello al centro del cerchio, l'opposto è proprio ilsì-coordina e l'adiacente è solo ilX-coordinata del punto sul cerchio che tocca il triangolo. In altre parole, il peccato restituisce ilsì-coordinata sul cerchio unitario (usando le coordinate che iniziano dal centro) per un dato angolo e cos restituisce ilX-coordinata. Ecco perché cos (0) = 1 e sin (0) = 0, perché a questo punto quelle sono le coordinate. Allo stesso modo, cos (90) = 0 e sin (90) = 1, perché questo è il punto conX= 0 esì= 1. In forma di equazione:
\sin = y \\ \cos θ = x
Gli angoli negativi sono anche facili da capire sulla base di questo. Gli angoli negativi (misurati in senso orario dal punto di partenza) hanno lo stessoXcoordinata come l'angolo positivo corrispondente, quindi:
\cos -θ = \cos θ
comunque, ilsì-interruttori di coordinate, il che significa che
\sin -θ = -\sin θ
La definizione di abbronzatura con il cerchio unitario
La definizione di abbronzatura data sopra è:
\tan = \frac{\sin }{\cos }
Ma con le definizioni del cerchio unitario di sin e cos, puoi vedere che questo è equivalente a:
\tan θ = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}
Oppure, pensando in termini di coordinate:
\tan = \frac{y}{x}
Questo spiega perché l'abbronzatura non è definita per 90° o -270° e 270° o -90° (doveX= 0), perché non puoi dividere per zero.
Rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche
Rappresentare il peccato o il cos diventa più facile quando si pensa al cerchio unitario. IlX-coordinate varia gradualmente mentre ti muovi intorno al cerchio, partendo da 1 e diminuendo fino a un minimo di -1 a 180°, quindi aumentando allo stesso modo. La funzione sin fa la stessa cosa, ma aumenta fino a un valore massimo di 1 prima a 90°, prima di seguire lo stesso schema. Le due funzioni si dicono sfasate di 90° l'una rispetto all'altra.
Disegnare l'abbronzatura richiede la divisionesìdiX, e quindi è più complicato da rappresentare graficamente e ha anche punti in cui è indefinito.