La maggior parte delle persone ricorda ilTeorema di Pitagoradalla geometria per principianti: è un classico. Suo
a^2 + b^2 = c^2
doveun, becsono i lati di un triangolo rettangolo (cè l'ipotenusa). Bene, questo teorema può essere riscritto anche per la trigonometria!
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Le identità pitagoriche sono equazioni che scrivono il teorema di Pitagora in termini di funzioni trigonometriche.
Il principaleIdentità pitagorichesiamo:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
Le identità pitagoriche sono esempi diidentità trigonometriche: uguaglianze (equazioni) che utilizzano funzioni trigonometriche.
Perchè importa?
Le identità pitagoriche possono essere molto utili per semplificare complicate affermazioni trigonometriche ed equazioni. Memorizzali ora e potrai risparmiare un sacco di tempo lungo la strada!
Dimostrare usando le definizioni delle funzioni trigonometriche
Queste identità sono piuttosto semplici da provare se si pensa alle definizioni delle funzioni trigonometriche. Ad esempio, dimostriamo che
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
Ricorda che la definizione di seno è lato opposto/ipotenusa e che il coseno è lato/ipotenusa adiacente.
Così
\sin^2 = \frac{\text{opposto}^2} {\text{ipotenusa}^2}
E
\cos^2 = \frac{\text{adiacente}^2} {\text{ipotenusa}^2}
Puoi facilmente sommare questi due perché i denominatori sono gli stessi.
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{opposto}^2 + \text{adiacente}^2} {\text{ipotenusa}^2}
Ora dai un'altra occhiata al teorema di Pitagora. Dice cheun2 + b2 = c2. Tieni presente cheunebrappresentare i lati opposti e adiacenti, ecsta per ipotenusa.
Puoi riorganizzare l'equazione dividendo entrambi i membri perc2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
Daun2 eb2 sono i lati opposti e adiacenti ec2 è l'ipotenusa, hai un'affermazione equivalente a quella sopra, con (opposto2 + adiacente2) / ipotenusa2. E grazie al lavoro conun, b, ce il teorema di Pitagora, ora puoi vedere che questa affermazione è uguale a 1!
Così
\frac{ \text{opposto}^2 + \text{adiacente}^2} {\text{ipotenusa}^2} = 1
e quindi:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(Ed è meglio scriverlo bene: peccato2(θ) + cos2(θ) = 1).
Le identità reciproche
Passiamo qualche minuto a guardare ilidentità reciprocheanche. Ricorda che ilreciprocoè uno diviso per ("sopra") il tuo numero, noto anche come inverso.
Poiché la cosecante è il reciproco del seno:
\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}
Puoi anche pensare alla cosecante usando la definizione di seno. Ad esempio, seno = lato opposto / ipotenusa. L'inverso di quello sarà la frazione capovolta, che è ipotenusa/lato opposto.
Allo stesso modo, il reciproco del coseno è secante, quindi è definito come
\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} \text{ o } \frac{\text{ipotenusa}}{\text{lato adiacente}}
E il reciproco della tangente è cotangente, quindi
\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\text{lato adiacente}}{\text{lato opposto}}
Le dimostrazioni per le identità pitagoriche usando secante e cosecante sono molto simili a quelle per seno e coseno. Puoi anche derivare le equazioni usando l'equazione "genitore", sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Dividi entrambi i membri per cos2(θ) per ottenere l'identità 1 + tan2(θ) = sec2(θ). Dividi entrambi i lati per il peccato2(θ) per ottenere l'identità 1 + culla2(θ) = csc2(θ).
Buona fortuna e assicurati di memorizzare le tre identità pitagoriche!