Non puoi risolvere un'equazione che contiene una frazione con un denominatore irrazionale, il che significa che il denominatore contiene un termine con un segno radicale. Questo include radici quadrate, cubiche e superiori. Sbarazzarsi del segno radicale si chiama razionalizzare il denominatore. Quando il denominatore ha un termine, puoi farlo moltiplicando i termini superiore e inferiore per il radicale. Quando il denominatore ha due termini, la procedura è un po' più complicata. Moltiplichi l'alto e il basso per il coniugato del denominatore ed espandi e semplicemente il numeratore.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Per razionalizzare una frazione, devi moltiplicare il numeratore e il denominatore per un numero o un'espressione che elimina i segni radicali nel denominatore.
Razionalizzazione di una frazione con un termine nel denominatore
Una frazione con la radice quadrata di un singolo termine al denominatore è la più semplice da razionalizzare. In generale, la frazione assume la formaun / √X. Lo razionalizzi moltiplicando numeratore e denominatore per √X.
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} × \frac{ a}{\sqrt{x}} = \frac{a\sqrt{x}}{x}
Poiché tutto ciò che hai fatto è moltiplicare la frazione per 1, il suo valore non è cambiato.
Esempio:
Razionalizzare
\frac{12}{\sqrt{6}}
Moltiplica numeratore e denominatore per 6 per ottenere
\frac{12\sqrt{6}}{6}
Puoi semplificarlo dividendo 6 in 12 per ottenere 2, quindi la forma semplificata della frazione razionalizzata è
2\sqrt{6}
Razionalizzare una frazione con due termini nel denominatore
Supponiamo di avere una frazione nella forma
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
Puoi eliminare il segno radicale nel denominatore moltiplicando l'espressione per il suo coniugato. Per un binomio generale della formaX + sì, il coniugato èX − sì. Quando li moltiplichi insieme, ottieniX2 − sì2. Applicando questa tecnica alla frazione generalizzata sopra:
\frac{a + b}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \ \ \,\\ (a + b) × \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y}
Espandi il numeratore per ottenere
\frac{a\sqrt{x} -a\sqrt{y} + b\sqrt{x} - b\sqrt{y}}{x - y}
Questa espressione diventa meno complicata quando si sostituiscono numeri interi per alcune o tutte le variabili.
Esempio:
Razionalizza il denominatore della frazione
\frac{3}{1 - \sqrt{y}}
Il coniugato del denominatore è 1 − ( −√sì) = 1+ √sì. Moltiplica numeratore e denominatore per questa espressione e semplifica:
\frac{3 × (1 + \sqrt{y})}{1 - y} \\ \,\\ \frac{3 + 3\sqrt{y}}{1 - y}
Razionalizzazione delle radici cubiche
Quando hai una radice cubica al denominatore, devi moltiplicare numeratore e denominatore per by radice cubica del quadrato del numero sotto il segno del radicale per eliminare il segno del radicale nel radical denominatore. In generale, se hai una frazione nella formaun / 3√X, moltiplicare superiore e inferiore per 3√X2.
Esempio:
Razionalizza il denominatore:
\frac{7}{\sqrt[3]{x}}
Moltiplica numeratore e denominatore per 3√X2 ottenere
\frac{7 × \sqrt[3]{x^2} }{ \sqrt[3]{x} × \sqrt[3]{x^2} }= \frac{7 × \sqrt[3]{x ^2} }{ \sqrt[3]{x^3}} \\ \,\\ \frac{7 \sqrt[3]{x^2}}{x}