A volte, l'unico modo per superare i calcoli matematici è la forza bruta. Ma di tanto in tanto, puoi risparmiare molto lavoro riconoscendo problemi speciali che puoi risolvere con una formula standardizzata. Trovare la somma dei cubi e trovare la differenza dei cubi sono due esempi esattamente di questo: Una volta che conosci le formule per la scomposizione in fattoriun3 + b3 oun3 - b3, trovare la risposta è facile come sostituire i valori di aeb nella formula corretta.
Mettere nel contesto
Innanzitutto, una rapida occhiata al motivo per cui potresti voler trovare - o più appropriatamente "fattore" - le somme o la differenza dei cubi. Quando il concetto viene introdotto per la prima volta, è un semplice problema di matematica in sé e per sé. Ma se continui a studiare matematica, in seguito questo diventerà un passaggio intermedio in calcoli più complessi. Quindi se ottieniun3 + b3 oun3 − b3 come risposta durante altri calcoli, puoi usare le abilità che stai per imparare per rompere quei cubetti i numeri a parte in componenti più semplici, il che spesso rende più facile continuare a risolvere l'originale problema.
Fattorizzare la somma dei cubi Cube
Immagina di essere arrivato al binomio
x^3 + 27
e si chiede di semplificarlo. Il primo termine,X3, è ovviamente un numero al cubo. Dopo un piccolo esame, puoi vedere che anche il secondo numero è in realtà un numero al cubo: 27 è uguale a 33. Ora che sai che entrambi i numeri sono cubi, puoi applicare la formula per la somma dei cubi.
Scrivi entrambi i numeri nella loro forma al cubo, se non è già così. Per continuare questo esempio, avresti:
x^3 + 27 = x^3 + 3^3
Una volta che sei abituato al processo, puoi saltare questo passaggio e andare direttamente a riempire i valori del passaggio 1 nella formula. Ma soprattutto quando stai imparando, è meglio andare passo dopo passo e ricordare a te stesso la formula:
a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
Confronta il lato sinistro di questa equazione con il risultato del passaggio 1. Nota che puoi sostituireXal posto diun,e 3 al posto dib.
Sostituisci i valori del passaggio 1 nella formula del passaggio 2. Quindi hai:
x^3 + 3^3 = (x + 3) (x^2 - 3x + 3^2)
Per ora, arrivare al lato destro dell'equazione rappresenta la tua risposta. Questo è il risultato della fattorizzazione della somma di due numeri al cubo.
Fattorizzare la differenza dei cubi
La scomposizione in fattori della differenza di due numeri al cubo funziona allo stesso modo. In effetti, la formula è quasi identica alla formula per la somma dei cubi. Ma c'è una differenza fondamentale: presta particolare attenzione a dove va il segno meno.
Immagina di avere il problema
y^3 - 125
e devo fattorizzarlo. Come prima,sì3 è un cubo ovvio, e con un po' di riflessione dovresti essere in grado di riconoscere che 125 è in realtà 53. Quindi hai:
y^3 - 125 = y^3 - 5^3
Come prima, scrivi la formula per la differenza dei cubi. Nota che puoi sostituiresìperune 5 perb, e prendi nota di dove va il segno meno in questa formula. La posizione del segno meno è l'unica differenza tra questa formula e la formula per la somma dei cubi.
a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
Scrivi di nuovo la formula, questa volta sostituendo i valori del passaggio 1. Questo produce:
y^3 - 5^3 = (y - 5)(y^2 + 5y + 5^2)
Ancora una volta, se tutto ciò che devi fare è fattorizzare la differenza dei cubi, questa è la tua risposta.