Come trovare il periodo di una funzione

Quando si rappresentano le funzioni trigonometriche, si scopre che sono periodiche; cioè, producono risultati che si ripetono in modo prevedibile. Per trovare il periodo di una determinata funzione, è necessaria una certa familiarità con ciascuna di esse e come le variazioni nel loro utilizzo influiscono sul periodo. Una volta riconosciuto come funzionano, puoi separare le funzioni trigonometriche e trovare il periodo senza problemi.

TL; DR (troppo lungo; non ho letto)

Il periodo delle funzioni seno e coseno è 2π (pi) radianti o 360 gradi. Per la funzione tangente, il periodo è π radianti o 180 gradi.

Quando li tracciate su un grafico, le funzioni trigonometriche producono forme d'onda che si ripetono regolarmente. Come ogni onda, le forme hanno caratteristiche riconoscibili come picchi (punti alti) e avvallamenti (punti bassi). Il periodo indica la "distanza" angolare di un ciclo completo dell'onda, solitamente misurata tra due picchi o avvallamenti adiacenti. Per questo motivo, in matematica, si misura il periodo di una funzione in unità angolari. Ad esempio, partendo da un angolo zero, la funzione seno produce una curva uniforme che sale a un massimo di 1 a π / 2 radianti (90 gradi), attraversa lo zero a π radianti (180 gradi), diminuisce fino a un minimo di -1 a 3π / 2 radianti (270 gradi) e raggiunge nuovamente lo zero a 2π radianti (360 gradi). Dopo questo punto, il ciclo si ripete all'infinito, producendo le stesse caratteristiche e valori all'aumentare dell'angolo in positivo

Le funzioni seno e coseno hanno entrambe un periodo di 2π radianti. La funzione coseno è molto simile al seno, tranne per il fatto che è "avanti" del seno di π / 2 radianti. La funzione seno assume il valore di zero a zero gradi, dove il coseno è 1 nello stesso punto.

La funzione tangente si ottiene dividendo seno per coseno. Il suo periodo è π radianti o 180 gradi. Il grafico della tangente (X) è zero all'angolo zero, curva verso l'alto, raggiunge 1 a π / 4 radianti (45 gradi), quindi curva di nuovo verso l'alto dove raggiunge un punto di divisione per zero a / 2 radianti. La funzione diventa quindi infinito negativo e traccia un'immagine speculare sotto il sì asse, raggiungendo -1 a 3π / 4 radianti, e attraversa il sì asse a radianti. Anche se ha X valori in corrispondenza dei quali diventa indefinita, la funzione tangente ha ancora un periodo definibile.

Le altre tre funzioni trigonometriche, cosecante, secante e cotangente, sono rispettivamente i reciproci di seno, coseno e tangente. In altre parole, cosecante (X) è 1 / peccato(X), secante(X) = 1 / cos(X) e culla(X) = 1 / abbronzatura(X). Sebbene i loro grafici abbiano punti indefiniti, i periodi per ciascuna di queste funzioni sono gli stessi di seno, coseno e tangente.

Moltiplicando il X in una funzione trigonometrica di una costante, puoi accorciare o allungare il suo periodo. Ad esempio, per la funzione sin (2_x_), il punto è metà del suo valore normale, perché l'argomento X è raddoppiato. Raggiunge il suo primo massimo a π / 4 radianti invece di π / 2 e completa un ciclo completo in π radianti. Altri fattori che si vedono comunemente con le funzioni trigonometriche includono le modifiche alla fase e all'ampiezza, dove la fase descrive una modifica a il punto di partenza sul grafico, e l'ampiezza è il valore massimo o minimo della funzione, ignorando il segno negativo sul minimo. L'espressione, 4 × sin (2_x_ + π), per esempio, raggiunge 4 al massimo, a causa del moltiplicatore 4, e inizia curvando verso il basso invece che verso l'alto a causa della costante π aggiunta al periodo. Nota che né il 4 né le costanti π influiscono sul periodo della funzione, solo sul suo punto iniziale e sui valori massimo e minimo.