A differenza di un triangolo equilatero con i suoi tre lati e angoli uguali, uno isoscele con i suoi due lati uguali, o un triangolo triangolo rettangolo con il suo angolo di 90 gradi, un triangolo scaleno ha tre lati di lunghezze casuali e tre angoli casuali. Se vuoi conoscere la sua area, devi fare un paio di misurazioni. Se riesci a misurare la lunghezza di un lato e la distanza perpendicolare di quel lato all'angolo opposto, hai abbastanza informazioni per calcolare l'area. È anche possibile calcolare l'area se conosci le lunghezze di tutti e tre i lati. Determinando il valore di uno degli angoli così come le lunghezze dei due lati che lo formano permette anche di calcolare l'area.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
L'area di un triangolo scaleno di base b e altezza h è data da 1/2 bh. Se conosci le lunghezze di tutti e tre i lati, puoi calcolare l'area usando la formula di Erone senza dover trovare l'altezza. Se conosci il valore di un angolo e le lunghezze dei due lati che lo formano, puoi trovare la lunghezza del terzo lato usando la legge dei coseni e poi usare la formula di Erone per calcolare l'area.
Formula generale per trovare l'area
Considera un triangolo casuale. È possibile tracciare un rettangolo attorno ad esso che utilizza uno dei lati come base (non importa quale) e tocca appena l'apice del terzo angolo. La lunghezza di questo rettangolo è uguale alla lunghezza del lato del triangolo che lo forma, che si chiama base (b). La sua larghezza è uguale alla distanza perpendicolare dalla base all'apice, che si chiama altezza (h) del triangolo.
L'area del rettangolo appena disegnato è ugualeb × h. Tuttavia, se esamini le linee del triangolo, vedrai che dividono la coppia di rettangoli creati dalla linea perpendicolare dalla base all'apice esattamente a metà. Quindi, l'area all'interno del triangolo è esattamente la metà di quella esterna, o 1/2bh. Per ogni triangolo:
\text{Area} = \frac{1}{2} \text{ base} × \text{altezza}
Formula di Airone
I matematici hanno saputo calcolare l'area di un triangolo con tre lati noti per millenni. Usano la formula di Heron, dal nome di Airone di Alessandria. Per usare questa formula, devi prima trovare il mezzo perimetro (S) del triangolo, cosa che fai sommando tutti e tre i lati e dividendo il risultato per due. Per un triangolo con i latiun, bec, il mezzo perimetro
s = \frac{1}{2}(a + b + c)
una volta che lo saiS, calcoli l'area usando questa formula:
\text{Area} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}
Usando la legge dei coseni
Considera un triangolo con tre angoliUN, BeC. Le lunghezze dei tre lati sonoun, bec. Il lato a è angolo oppostoUN, latobè l'angolo oppostoB, e latocè l'angolo oppostoC. Se conosci uno degli angoli, ad esempio angoloC– e i due lati che lo formano – in questo caso,uneb– puoi calcolare la lunghezza del terzo lato usando questa formula:
c^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos (C)
Una volta che conosci il valore dic, puoi calcolare l'area usando la formula di Heron.