La semplice menzione della parola trigonometria potrebbe farvi venire i brividi lungo la schiena, evocando ricordi di lezioni di matematica al liceo e termini arcani come peccato, cos e abbronzatura che non sembravano mai funzionare senso. Ma la verità è che la trigonometria ha una vasta gamma di applicazioni, in particolare se sei coinvolto in scienze o matematica come parte della tua formazione continua. Se non sei sicuro di cosa significhi veramente una tangente o di come estrai informazioni utili da essa, imparare a convertire le tangenti in gradi introduce i concetti più importanti.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Per un triangolo rettangolo standard, l'abbronzatura di un angolo (θ) ti dice:
abbronzatura (θ) = opposto / adiacente
Con opposto e adiacente in piedi per le lunghezze di quei rispettivi lati.
Converti le tangenti in gradi usando la formula:
Angolo in gradi = arctan (tan (θ))
Qui, arctan inverte la funzione tangente e può essere trovato sulla maggior parte dei calcolatori come tan−1.
Che cos'è una tangente?
In trigonometria, la tangente di un angolo può essere trovata usando le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo contenente l'angolo. Il lato adiacente si trova orizzontalmente accanto all'angolo che ti interessa e il lato opposto si trova in verticale, opposto all'angolo che ti interessa. Il lato rimanente, l'ipotenusa, ha un ruolo da svolgere nelle definizioni di cos e sin ma non di tan.
Tenendo presente questo triangolo generico, la tangente dell'angolo (θ) può essere trovato utilizzando:
\tan (θ) = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}
Qui, opposto e adiacente descrivono le lunghezze dei lati dati quei nomi. Pensando all'ipotenusa come una pendenza, l'abbronzatura dell'angolo della pendenza ti dice l'aumento della pendenza (cioè la variazione verticale) divisa per la corsa della pendenza (la variazione orizzontale).
L'abbronzatura di un angolo può anche essere definita come:
\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}
Cos'è l'Arctan?
La tangente di un angolo tecnicamente ti dice cosa restituisce la funzione tan quando la applichi all'angolo specifico che hai in mente. La funzione chiamata “arctan” o tan−1 inverte la funzione tan e restituisce l'angolo originale quando lo si applica all'abbronzatura dell'angolo. Arcsin e arccos fanno la stessa cosa con le funzioni sin e cos, rispettivamente.
Conversione di tangenti in gradi
La conversione delle tangenti in gradi richiede di applicare la funzione arctan all'abbronzatura dell'angolo che ti interessa. La seguente espressione mostra come convertire le tangenti in gradi:
\text{Angolo in gradi} = \arctan (\tan (θ))
In poche parole, la funzione arctan inverte l'effetto della funzione tan. Quindi se conosci quell'abbronzatura (θ) = √3, allora:
\begin{allineato} \text{Angolo in gradi} &= \arctan (\sqrt{3}) \\ &= 60° \end{allineato}
Sulla calcolatrice, premi il tasto "tan−1” per applicare la funzione arctan. Puoi farlo prima di inserire il valore di cui vuoi prendere l'arctan o dopo, a seconda del modello specifico di calcolatrice.
Un esempio di problema: la direzione di marcia di una barca
Il problema seguente illustra l'utilità della funzione tan. Immagina qualcuno che viaggia a 5 metri al secondo in direzione est (da ovest) su una barca, ma viaggia in una corrente che spinge la barca verso nord a 2 metri al secondo. Che angolo fa la direzione di marcia risultante con il dovuto est?
Scomponi il problema in due parti. Innanzitutto, si può considerare che il viaggio verso est formi il lato adiacente di un triangolo (con una lunghezza di 5 metri al secondo), e la corrente che si sposta verso nord può essere considerata il lato opposto di questo triangolo (con una lunghezza di 2 metri per secondo). Questo ha senso perché la direzione finale del viaggio (che sarebbe l'ipotenusa sull'ipotetico triangolo) risulta dalla combinazione dell'effetto del moto verso est e della corrente che spinge verso il Nord. I problemi di fisica spesso implicano la creazione di triangoli come questo, quindi semplici relazioni trigonometriche possono essere utilizzate per trovare la soluzione.
Da:
\tan (θ) = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}
Ciò significa che l'abbronzatura dell'angolo della direzione finale di marcia è:
\begin{allineato} \tan (θ) &= \frac{2 \text{ m/s}}{5\text{ m/s}} \\ &= 0.4 \end{allineato}
Converti questo in gradi usando lo stesso approccio della sezione precedente:
\begin{allineato} \text{Angolo in gradi} &= \arctan (\tan (θ)) \\ &= \arctan (0.4) \\ &= 21,8° \end{allineato}
Quindi la barca finisce per viaggiare in una direzione di 21,8° fuori dall'orizzontale. In altre parole, si muove ancora in gran parte verso est, ma viaggia anche leggermente verso nord a causa della corrente.