Ti sei mai chiesto come sono correlate le funzioni trigonometriche come seno e coseno? Sono entrambi usati per calcolare i lati e gli angoli nei triangoli, ma la relazione va oltre.Identità cofunzionalidacci formule specifiche che mostrano come convertire tra seno e coseno, tangente e cotangente e secante e cosecante.
TL; DR (troppo lungo; non letto)
Il seno di un angolo è uguale al coseno del suo complemento e viceversa. Questo vale anche per altre cofunzioni.
Un modo semplice per ricordare quali funzioni sono cofunzioni è che due funzioni trigonometriche lo sonocofunzionise uno di essi ha il prefisso "co-" davanti. Così:
- seno ecoseno sonocofunzioni.
- tangente ecotangenti sonocofunzioni.
- secante ecosecante sonocofunzioni.
Possiamo calcolare avanti e indietro tra le cofunzioni usando questa definizione: il valore di una funzione di un angolo è uguale al valore della cofunzione del complemento.
Sembra complicato, ma invece di parlare del valore di una funzione in generale, usiamo un esempio specifico. Il
senodi un angolo è uguale acosenodel suo complemento. E lo stesso vale per altre cofunzioni: la tangente di un angolo è uguale alla cotangente del suo complemento.Ricorda: due angoli sonocomplementise aggiungono fino a 90 gradi.
Identità cofunzionali nei gradi:
(Si noti che 90° −Xci dà il complemento di un angolo.)
\sin (x) = \cos (90° - x) \\ \cos (x) = \sin (90° - x) \\ \tan (x) = \cot (90° - x) \\ \cot (x) = \tan (90° - x) \\ \sec (x) = \csc (90° - x)\\ \csc (x) = \sec (90° - x)
Identità cofunzionali in radianti
Ricorda che possiamo anche scrivere cose in termini diradianti, che è l'unità SI per misurare gli angoli. Novanta gradi equivalgono a π/2 radianti, quindi possiamo anche scrivere le identità di cofunzione in questo modo:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cos (x) = \sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \tan (x) = \cot\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cot (x) = \tan\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \sec (x) = \csc\bigg(\frac{ π}{2} - x\bigg)\\ \,\\ \csc (x) = \sec\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg)
Prova di identità di cofunzione
Tutto questo suona bene, ma come possiamo dimostrare che questo è vero? Provarlo tu stesso su un paio di triangoli di esempio può aiutarti a sentirti sicuro, ma c'è anche una dimostrazione algebrica più rigorosa. Dimostriamo le identità di cofunzione per seno e coseno. Lavoreremo in radianti, ma è come usare i gradi.
Prova:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x \bigg)
Prima di tutto, torna indietro nella tua memoria a questa formula, perché la useremo nella nostra dimostrazione:
\cos (A - B) = \cos (A)\cos (B) + \sin (A)\sin (B)
Fatto? OK. Ora dimostriamo: peccato(X) = cos (π/2 − x).
Possiamo riscrivere cos (π/2 −X) come questo:
\cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) + \sin\bigg(\frac{π }{2}\bigg)\sin (x) \\ \,\\ \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = 0 × \cos (x) + 1 ×\sin ( X)
perché sappiamo
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ e } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Così
\cos\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) = \sin (x)
Ta-da! Ora dimostriamolo con il coseno!
Prova:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Un altro tuffo nel passato: ricordi questa formula?
\sin (A - B) = \sin (A)\cos (B) - \cos (A)\sin (B)
Stiamo per usarlo. Ora dimostriamo:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Possiamo riscrivere sin (π/2 −X) come questo:
\begin{allineato} \sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) &= \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) - \cos\ bigg(\frac{π}{2}\bigg)\sin (x) \\ &= 1 × \cos (x) - 0 × \sin (x) \end{allineato}
perché sappiamo
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ e } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Quindi otteniamo
\sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos (x)
Calcolatrice di cofunzioni
Prova alcuni esempi lavorando da solo con le cofunzioni. Ma se rimani bloccato, Math Celebrity ha un calcolatore di cofunzioni che mostra soluzioni passo passo ai problemi di cofunzioni.
Buon calcolo!