Un prodotto è il risultato dell'esecuzione dell'operazione matematica di moltiplicazione. Quando moltiplichi i numeri tra loro, ottieni il loro prodotto. Le altre operazioni aritmetiche di base sono l'addizione, la sottrazione e la divisione, ei loro risultati sono chiamati rispettivamente somma, differenza e quoziente. Ogni operazione ha anche proprietà speciali che governano come i numeri possono essere organizzati e combinati. Per la moltiplicazione, è importante essere consapevoli di queste proprietà in modo da poter moltiplicare i numeri e combinare la moltiplicazione con altre operazioni per ottenere la risposta corretta.
TL; DR (troppo lungo; non letto)
Il significato del prodotto in matematica è il risultato della moltiplicazione di due o più numeri insieme. Per ottenere il prodotto giusto, sono importanti le seguenti proprietà:
- L'ordine dei numeri non ha importanza.
- Il raggruppamento dei numeri tra parentesi non ha alcun effetto.
- Moltiplicare due numeri per un moltiplicatore e poi sommarli equivale a moltiplicare la loro somma per il moltiplicatore.
- Moltiplicando per 1 lascia un numero invariato.
Il significato del prodotto di un numero
Il prodotto di un numero e uno o più altri numeri è il valore ottenuto moltiplicando i numeri tra loro. Ad esempio, il prodotto di 2, 5 e 7 è
2 × 5 × 7 = 70
Mentre il prodotto ottenuto moltiplicando insieme numeri specifici è sempre lo stesso, i prodotti non sono unici. Il prodotto di 6 e 4 è sempre 24, ma lo è anche il prodotto di 2 e 12, o 8 e 3. Non importa quali numeri moltiplichi per ottenere un prodotto, l'operazione di moltiplicazione ha quattro proprietà che la distinguono da altre operazioni aritmetiche di base, addizione, sottrazione e divisione condividono alcune di queste proprietà, ma ognuna ha un unico combinazione.
La proprietà aritmetica della commutazione
Commutazione significa che i termini di un'operazione possono essere scambiati e la sequenza dei numeri non fa differenza per la risposta. Quando ottieni un prodotto per moltiplicazione, l'ordine in cui moltiplichi i numeri non ha importanza. Lo stesso vale per l'addizione. Puoi moltiplicare 8 × 2 per ottenere 16 e otterrai la stessa risposta con 2 × 8. Allo stesso modo, 8 + 2 dà 10, la stessa risposta di 2 + 8.
La sottrazione e la divisione non hanno la proprietà della commutazione. Se cambi l'ordine dei numeri, otterrai una risposta diversa. Per esempio,
8 ÷ 2 = 4 \text{ ma } 2 ÷ 8 = 0.25
Per sottrazione,
8 - 2 = 6 \text{ ma } 2 - 8 = -6
Divisione e sottrazione non sono operazioni commutative.
La proprietà distributiva
La distribuzione in matematica significa che moltiplicare una somma per un moltiplicatore dà la stessa risposta che moltiplicare i singoli numeri della somma per il moltiplicatore e quindi sommare. Per esempio,
3 × (4 + 2) = 18 \text{ e } (3 × 4) + (3 × 2) = 18
La somma prima della moltiplicazione dà la stessa risposta della distribuzione del moltiplicatore sui numeri da sommare e poi della moltiplicazione prima della somma.
Divisione e sottrazione non hanno la proprietà distributiva. Per esempio,
3 ÷ (4 - 2) = 1.5 \text{ ma } (3 ÷ 4) - (3 ÷ 2) = -0,75
Sottrarre prima di dividere dà una risposta diversa rispetto a dividere prima di sottrarre.
La Proprietà Associativa per Prodotti e Somme
La proprietà associativa significa che se stai eseguendo un'operazione aritmetica su più di due numeri, puoi associare o mettere parentesi intorno a due dei numeri senza influenzare la risposta. Prodotti e somme hanno la proprietà associativa mentre differenze e quozienti no.
Ad esempio, se si esegue un'operazione aritmetica sui numeri 12, 4 e 2, la somma può essere calcolata come
(12 + 4) + 2 = 18 \text{ o } 12 + (4 + 2) = 18
Un esempio di prodotto è
(12 × 4) × 2 = 96 \text{ o } 12 × (4 × 2) = 96
Ma per i quozienti
\frac{12 ÷ 4}{2} = 1,5 \text{ mentre } \frac{12}{4 ÷ 2} = 6
e per le differenze
(12 - 4) - 2 = 6 \text{ mentre } 12 - (4 - 2) = 10
La moltiplicazione e l'addizione hanno la proprietà associativa mentre la divisione e la sottrazione no.
Identità operative - Differenza e somma vs. Prodotto e Quoziente
Se si esegue un'operazione aritmetica su un numero e un'identità operativa, il numero rimane invariato. Tutte e quattro le operazioni aritmetiche di base hanno identità, ma non sono le stesse. Per sottrazione e addizione, l'identità è zero. Per la moltiplicazione e la divisione, l'identità è una.
Ad esempio, per una differenza, 8 − 0 = 8. Il numero rimane identico. Lo stesso vale per una somma, 8 + 0 = 8. Per un prodotto, 8 × 1 = 8 e per un quoziente, 8 ÷ 1 = 8. I prodotti e le somme hanno le stesse proprietà di base tranne per il fatto che hanno identità operative diverse. Di conseguenza, la moltiplicazione e i suoi prodotti hanno un insieme unico di proprietà che devi conoscere per ottenere le risposte giuste.