In matematica, viene utilizzato un controesempio per confutare un'affermazione. Se vuoi dimostrare che un'affermazione è vera, devi scrivere una dimostrazione per dimostrare che è sempre vera; dare un esempio non è sufficiente. Rispetto a scrivere una dimostrazione, scrivere un controesempio è molto più semplice; se vuoi dimostrare che un'affermazione non è vera, devi solo fornire un esempio di uno scenario in cui l'affermazione è falsa. La maggior parte dei controesempi in algebra implica manipolazioni numeriche.
Due classi di matematica
La scrittura di prove e la ricerca di controesempi sono due delle classi principali della matematica. La maggior parte dei matematici si concentra sulla scrittura di prove per sviluppare nuovi teoremi e proprietà. Quando affermazioni o congetture non possono essere dimostrate vere, i matematici le confutano fornendo controesempi.
I controesempi sono concreti
Invece di usare variabili e notazioni astratte, puoi usare esempi numerici per confutare un argomento. In algebra, la maggior parte dei controesempi implica la manipolazione utilizzando diversi numeri positivi e negativi o pari e dispari, casi estremi e numeri speciali come 0 e 1.
Un controesempio è sufficiente
La filosofia del controesempio è che se in uno scenario l'affermazione non è vera, allora l'affermazione è falsa. Un esempio non matematico è "Tom non ha mai detto una bugia". Per dimostrare che questa affermazione è vera, devi fornire la "prova" che Tom non ha mai detto una bugia tenendo traccia di ogni affermazione che Tom abbia mai fatto. Tuttavia, per confutare questa affermazione, devi solo mostrare una bugia che Tom ha mai detto.
Controesempi famosi
"Tutti i numeri primi sono dispari." Sebbene quasi tutti i numeri primi, inclusi tutti i numeri primi superiori a 3, siano dispari, "2" è un numero primo pari; questa affermazione è falsa; "2" è il controesempio pertinente.
"La sottrazione è commutativa". Sia l'addizione che la moltiplicazione sono commutative: possono essere eseguite in qualsiasi ordine. Cioè, per qualsiasi numero reale a e b, a + b = b + a e a * b = b * a. Tuttavia, la sottrazione non è commutativa; un controesempio che lo dimostra è: 3 - 5 non è uguale a 5 - 3.
"Ogni funzione continua è differenziabile." La funzione assoluta |x| è continua per tutti i numeri positivi e negativi; ma non è derivabile in x = 0; da |x| è una funzione continua, questo controesempio dimostra che non tutte le funzioni continue sono differenziabili.