Konsep darinilai eigentidak jelas tetapi sangat berguna bagi matematikawan dan ilmuwan fisika yang menghadapi masalah menarik tertentu.
Untuk memahami nilai eigen, bayangkan memiliki fungsi (mis.,kamu = x2 + 6x, ataukamu= log 4x) yang dapat Anda lakukan melalui beberapa proses sehingga hasilnya akan sama dengan mengalikan seluruh fungsi dengan nilai konstan. Fungsi seperti itu akan memenuhi syarat sebagaifungsi eigen, dan konstanta akan menjadi nilai eigen.
- "Eigen" adalah bahasa Jerman untuk "sama."
Untuk memahami nilai eigen dan fungsi eigen dengan baik, dan dapat menghitung nilai eigen sendiri, Anda memerlukan pemahaman dasar tentang matriks. Trik matematika ini digunakan untuk menentukan katakanlah, orde ikatan NO2 (nitrogen dioksida) dan molekul lain, karena perilaku elektron dalam atom ditentukan oleh fungsi gelombang yang memenuhi syarat sebagai fungsi eigen.
Apa Itu Matriks?
Matriks adalah susunan bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom, yang dapat bernomor dari 1 sampaitidak
. Dimensi matriks diberikan sebagai baris demi kolom; sebagai contoh, berikut ini adalah matriks 2-kali-3:\begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{bmatrix}
Matriks dapat dijumlahkan jika ukurannya sama (yaitu memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama). Mereka juga dapat dikalikan bersama dengan proses bertahap di bawah kondisi yang sama. Selain itu, matriks apa pun dapat dikalikan dengan vektor, yang merupakantidakatautidak-oleh-1 matriks; ini termasuk vektor lainnya.
Apa itu Persamaan Nilai Eigen?
Katakanlah Anda memilikitidak-oleh-tidakatau matriks "persegi"SEBUAH, bukan noltidak-oleh-1 vektorv, dan skalarλ, sehingga persamaan berikut dipenuhi:
\bold{Av} = \bold{v}
Setiap nilai dariλyang persamaan ini memiliki solusi dikenal sebagai nilai eigen dari matriksSEBUAH.
Jangan biarkan pikiran Anda memperlakukan ungkapan di atas sebagai produk.SEBUAHadalahoperatorpada, atau transformasi linier dari, vektorv, perhitungan ini menjadi mungkin hanya karenaSEBUAHdanvkeduanya memilikitidakbaris.
Mengapa Menggunakan Fungsi Eigenvalue?
Derivasinya rumit, tetapi dalam kimia atom, operator Hamiltonian "H-bar" digunakan untuk menyatakan energi kinetik dan potensial suatu sistem:
\hat H=−\dfrac{ℏ}{2m}∇^2+\hat V(x, y, z)
Ini digunakan untuk menulis bentukPersamaan fungsi gelombang Schrodingerdalam mekanika kuantum:
\hat Hψ(x, y, z)=Eψ(x, y, z)
SiniEmewakili nilai eigen yang memenuhi persamaan ini.
Cara Mencari Nilai Eigen dari Matriks
Dari persamaan Av = v, diperolehSEBUAH v − λv=0. Hal ini menyebabkan:
\bold{A v} (\bold{I v})=0
Dimanasayaadalah matriks identitas 2-kali-2 dengan baris [λ0] dan [0λ], menghasilkan 1 jika dikalikan dengan skalarλ. Hasil ini menghasilkan:
(\bold{A} - \bold{I})\bold{v} = 0
Yang mana jikavtidak nol, hanya memiliki solusi jika nilai absolut dariSEBUAH− λsaya, atau |SEBUAH − λsaya|, adalah nol. Jika Anda melakukannya dengan tangan, ini melibatkan penyelesaian persamaan kuadrat dan bisa jadi membosankan.
Untuk mengalikan dua matriks bersama-sama, untuk setiap titik dalam matriks produk, Anda mengalikan titik-titik yang sesuai bersama-sama dan tambahkan ini ke produk dari elemen baris dan kolom yang tersisa di baris dan kolom yang titik barunya milik.
Dalam mengalikan dua matriks 2-kali-2SEBUAHdanBbersama-sama, jika baris pertama dariSEBUAHadalah [1 3] dan kolom pertama dariBadalah [2 5], bilangan pada kolom dan baris pertama dari matriks baru adalah [(1 × 2) +(3 × 5)] = 15, dan dengan demikian untuk tiga titik lainnya.
Hitung Nilai Eigen Online
Di Sumber Daya, Anda akan menemukan alat kalkulasi matriks yang memungkinkan Anda menemukan nilai eigen dan lebih banyak lagi untuk matriks dengan hampir semua ukuran yang dapat dibayangkan.