Belajar menangani eksponen merupakan bagian integral dari setiap pendidikan matematika, tetapi untungnya aturan untuk mengalikan dan membaginya cocok dengan aturan untuk eksponen non-fraksional. Langkah pertama untuk memahami bagaimana menangani eksponen pecahan adalah mendapatkan ikhtisar tentang apa sebenarnya eksponen itu, dan kemudian Anda dapat melihat cara Anda dapat menggabungkan eksponen ketika mereka dikalikan atau dibagi dan mereka memiliki yang sama mendasarkan. Singkatnya, Anda menambahkan eksponen bersama-sama saat mengalikan dan mengurangi satu dari yang lain saat membagi, asalkan mereka memiliki basis yang sama.
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
Kalikan suku dengan eksponen menggunakan aturan umum:
xSebuah + xb = x(Sebuah + b)
Dan bagi suku dengan eksponen menggunakan aturan:
xSebuah ÷ xb = x(Sebuah – b)
Aturan-aturan ini bekerja dengan ekspresi apa pun sebagai penggantiSebuahdanb, bahkan pecahan.
Apa Itu Eksponen Pecahan?
Eksponen pecahan menyediakan cara yang ringkas dan berguna untuk menyatakan akar kuadrat, kubus, dan akar lebih tinggi. Penyebut pada eksponen memberi tahu Anda apa akar dari angka "basis" yang diwakili oleh istilah tersebut. Dalam istilah seperti
x^{1/2} = \sqrt{x}
Penyebut dua pada eksponen memberi tahu Anda bahwa Anda mengambil akar kuadrat darixdalam ekspresi ini. Aturan dasar yang sama berlaku untuk akar yang lebih tinggi:
x^{1/3} = \sqrt[3]{x}
Dan
x^{1/4} = \sqrt[4]{x}
Pola ini berlanjut. Untuk contoh konkrit:
9^{1/2} = \sqrt{9}=3
Dan
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}=2
Aturan Eksponen Pecahan: Mengalikan Eksponen Pecahan Dengan Basis yang Sama
Kalikan suku dengan pangkat pecahan (asalkan memiliki basis yang sama) dengan menjumlahkan pangkat. Sebagai contoh:
x^{1/3} × x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x^1 = x
Sejakx1/3 berarti “akar pangkat tiga darix,” masuk akal jika ini dikalikan dengan dirinya sendiri dua kali memberikan hasilx. Anda mungkin juga mengalami contoh sepertix1/3 × x1/3, tetapi Anda menanganinya dengan cara yang persis sama:
x^{1/3} × x^{1/3} = x^{( 1/3 + 1/3)} \\ = x^{2/3}
Fakta bahwa ekspresi di akhir masih berupa eksponen pecahan tidak membuat perbedaan pada prosesnya. Ini dapat disederhanakan jika Anda perhatikan bahwax2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Dengan ekspresi seperti ini, tidak masalah apakah Anda mengambil akar atau kekuatan terlebih dahulu. Contoh ini mengilustrasikan cara menghitungnya:
8^{1/3} + 8^{1/3} = 8^{2/3} \\ = (\sqrt[3]{8})^2
Karena akar pangkat tiga dari 8 mudah dikerjakan, atasi ini sebagai berikut:
(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
Jadi ini berarti:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Anda juga mungkin menemukan produk dari eksponen pecahan dengan angka yang berbeda dalam penyebut pecahan, dan Anda dapat menambahkan eksponen ini dengan cara yang sama seperti Anda menambahkan pecahan lainnya. Sebagai contoh:
\begin{sejajar} x^{1/4} × x^{1/2} &= x^{(1/4 + 1/2)} \\ &= x^{(1/4 + 2/4 )} \\ &= x^{3/4} \end{selaras}
Ini semua adalah ekspresi khusus dari aturan umum untuk mengalikan dua ekspresi dengan eksponen:
x^a + x^b = x^{(a + b)}
Aturan Eksponen Pecahan: Membagi Eksponen Pecahan Dengan Basis Yang Sama
Atasi pembagian dua angka dengan eksponen pecahan dengan mengurangkan eksponen yang Anda bagi (pembagi) dengan yang Anda bagi (dividen). Sebagai contoh:
x^{1/2} x^{1/2} = x^{(1/2 - 1/2)} \\ = x^0 = 1
Ini masuk akal, karena setiap angka yang dibagi dengan dirinya sendiri sama dengan satu, dan ini sesuai dengan hasil standar bahwa setiap angka yang dipangkatkan 0 sama dengan satu. Contoh berikut menggunakan angka sebagai basis dan eksponen yang berbeda:
\begin{aligned} 16^{1/2} 16^{1/4} &= 16^{(1/2 - 1/4)} \\ &= 16^{(2/4 - 1/4) )} \\ &= 16^{1/4} \\ &= 2 \end{selaras}
Yang juga dapat Anda lihat jika Anda perhatikan bahwa 161/2 = 4 dan 161/4 = 2.
Seperti perkalian, Anda mungkin juga mendapatkan eksponen pecahan yang memiliki angka selain satu di pembilangnya, tetapi Anda menanganinya dengan cara yang sama.
Ini hanya mengungkapkan aturan umum untuk membagi eksponen:
x^a x^b = x^{(a - b)}
Perkalian dan Pembagian Eksponen Pecahan dalam Basis yang Berbeda
Jika basis pada istilah berbeda, tidak ada cara mudah untuk mengalikan atau membagi eksponen. Dalam kasus ini, cukup hitung nilai masing-masing suku dan kemudian lakukan operasi yang diperlukan. Satu-satunya pengecualian adalah jika eksponennya sama, dalam hal ini Anda dapat mengalikan atau membaginya sebagai berikut:
x^4 × y^4 = (xy)^4 \\ x^4 y^4 = (x y)^4