Trik untuk Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah rumus yang dapat ditulis dalam bentuk Ax^2 + Bx + C = 0. Kadang-kadang, persamaan kuadrat dapat disederhanakan dengan memfaktorkan, atau menyatakan persamaan sebagai produk dari suku-suku yang terpisah. Hal ini dapat membuat persamaan lebih mudah untuk dipecahkan. Faktor terkadang sulit untuk diidentifikasi, tetapi ada trik yang dapat membuat prosesnya lebih mudah.

Periksa persamaan kuadrat untuk menentukan apakah ada bilangan dan/atau variabel yang dapat membagi setiap suku persamaan. Misalnya, perhatikan persamaan 2x^2 + 10x + 8 = 0. Bilangan terbesar yang dapat membagi rata ke setiap suku persamaan adalah 2, jadi 2 adalah faktor persekutuan terbesar (FPB).

Bagilah setiap suku dalam persamaan dengan FPB, dan kalikan seluruh persamaan dengan FPB. Dalam contoh persamaan 2x^2 + 10x + 8 = 0, ini akan menghasilkan 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2).

Sederhanakan ekspresi dengan menyelesaikan pembagian di setiap suku. Seharusnya tidak ada pecahan dalam persamaan akhir. Dalam contoh, ini akan menghasilkan 2(x^2 + 5x + 4) = 0.

Periksa persamaan kuadrat untuk melihat apakah dalam bentuk Ax^2 + 0x – C = 0, di mana A = y^2 dan C = z^2. Jika demikian halnya, persamaan kuadrat menyatakan selisih dua kuadrat. Misalnya, pada persamaan 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 dan C = 9 = 3^2, jadi y = 2 dan z = 3.

Faktorkan persamaan ke dalam bentuk (yx + z)(yx – z) = 0. Dalam persamaan contoh, y = 2 dan z = 3; maka persamaan kuadrat terfaktornya adalah (2x + 3)(2x – 3) = 0. Ini akan selalu menjadi bentuk faktor dari persamaan kuadrat yang merupakan selisih kuadrat.

Periksa persamaan kuadrat untuk melihat apakah itu kuadrat sempurna. Jika persamaan kuadrat adalah kuadrat sempurna, dapat ditulis dalam bentuk y^2 + 2yz + z^2, seperti persamaan 4x^2 + 12x + 9 = 0, yang dapat ditulis ulang menjadi (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2. Dalam hal ini, y = 2x, dan z = 3.

Periksa apakah istilah 2yz positif. Jika sukunya positif, faktor-faktor persamaan kuadrat sempurna selalu (y + z)(y + z). Misalnya pada persamaan di atas, 12x positif, maka faktornya adalah (2x + 3)(2x + 3) = 0.

Periksa apakah istilah 2yz negatif. Jika sukunya negatif, faktornya selalu (y – z)(y – z). Misalnya, jika persamaan di atas memiliki suku -12x, bukan 12x, faktornya adalah (2x – 3)(2x – 3) = 0.

Tentukan bentuk faktor dari persamaan kuadrat dengan menulis (vx + w)(yx + z) = 0. Ingat aturan untuk perkalian FOIL (Pertama, Luar, Dalam, Terakhir). Karena suku pertama persamaan kuadrat adalah Ax^2, kedua faktor persamaan harus menyertakan x.

Selesaikan untuk v dan y dengan mempertimbangkan semua faktor A dalam persamaan kuadrat. Jika A = 1, maka v dan y akan selalu 1. Dalam contoh persamaan x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1, jadi v dan y dapat diselesaikan dalam persamaan faktor untuk mendapatkan (1x + w)(1x + z) = 0.

Tentukan apakah w dan z positif atau negatif. Aturan berikut berlaku: C = positif dan B = positif; kedua faktor memiliki tanda + C = positif dan B = negatif; kedua faktor memiliki tanda – C = negatif dan B = positif; faktor dengan nilai terbesar memiliki tanda + C = negatif dan B = negatif; faktor dengan nilai terbesar memiliki tanda - Pada contoh persamaan dari Langkah 2, B = -9 dan C = +8, jadi kedua faktor persamaan akan memiliki tanda -, dan persamaan faktor dapat ditulis sebagai (1x – w)(1x – z) = 0.

Buatlah daftar semua faktor C untuk mencari nilai w dan z. Pada contoh di atas, C = 8, jadi faktornya adalah 1 dan 8, 2 dan 4, -1 dan -8, dan -2 dan -4. Faktor-faktor harus dijumlahkan hingga B, yaitu -9 dalam persamaan contoh, jadi w = -1 dan z = -8 (atau sebaliknya) dan persamaan kita difaktorkan sepenuhnya sebagai (1x – 1)(1x – 8) = 0.

Kurangi persamaan ke bentuk paling sederhana, dengan menggunakan metode Faktor Persekutuan Terbesar yang tercantum di atas. Misalnya, dalam persamaan 9x^2 + 27x – 90 = 0, FPBnya adalah 9, jadi persamaan disederhanakan menjadi 9(x^2 + 3x – 10).

Gambarlah sebuah kotak dan bagilah menjadi sebuah tabel dengan dua baris dan dua kolom. Letakkan Ax^2 dari persamaan yang disederhanakan pada baris 1, kolom 1, dan C dari persamaan yang disederhanakan pada baris 2, kolom 2.

Kalikan A dengan C, dan temukan semua faktor hasil perkaliannya. Pada contoh di atas, A = 1 dan C = -10, jadi hasilnya adalah (1)(-10) = -10. Faktor dari -10 adalah -1 dan 10, -2 dan 5, 1 dan -10, dan 2 dan -5.

Tentukan faktor mana dari perkalian AC yang dijumlahkan dengan B. Dalam contoh, B = 3. Faktor dari -10 yang dijumlahkan dengan 3 adalah -2 dan 5.

Kalikan setiap faktor yang diidentifikasi dengan x. Pada contoh di atas, ini akan menghasilkan -2x dan 5x. Letakkan dua suku baru ini di dua ruang kosong pada bagan, sehingga tabelnya terlihat seperti ini:

x^2 | 5x

-2x | -10

Temukan FPB untuk setiap baris dan kolom kotak. Dalam contoh, CGF untuk baris atas adalah x, dan untuk baris bawah adalah -2. FPB untuk kolom pertama adalah x, dan untuk kolom kedua adalah 5.

Tulis persamaan faktor dalam bentuk (w + v) (y + z) menggunakan faktor-faktor yang diidentifikasi dari baris grafik untuk w dan v, dan faktor-faktor yang diidentifikasi dari kolom grafik untuk y dan z. Jika persamaan disederhanakan pada Langkah 1, ingatlah untuk memasukkan FPB dari persamaan dalam ekspresi faktor. Dalam kasus contoh, persamaan terfaktor akan menjadi 9(x – 2)(x + 5) = 0.

Pastikan persamaan dalam bentuk kuadrat standar sebelum Anda memulai salah satu metode yang dijelaskan.

Tidak selalu mudah untuk mengidentifikasi kuadrat sempurna atau selisih kuadrat. Jika Anda dapat melihat dengan cepat bahwa persamaan kuadrat yang Anda coba faktorkan berada dalam salah satu bentuk ini, maka itu bisa sangat membantu. Namun, jangan menghabiskan banyak waktu untuk mencari tahu hal ini, karena metode lain bisa lebih cepat.

Selalu periksa pekerjaan Anda dengan mengalikan faktor menggunakan metode FOIL. Faktor-faktor harus selalu mengalikan kembali ke persamaan kuadrat asli.