Dalam matematika, barisan adalah deretan bilangan yang disusun dalam urutan naik atau turun. Suatu barisan menjadi barisan geometri ketika Anda dapat memperoleh setiap bilangan dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan faktor persekutuan. Misalnya, seri 1, 2, 4, 8, 16... adalah barisan geometri dengan faktor persekutuan 2. Jika Anda mengalikan angka apa pun dalam seri dengan 2, Anda akan mendapatkan angka berikutnya. Sebaliknya, urutan 2, 3, 5, 8, 14, 22... tidak geometris karena tidak ada faktor umum antara angka. Barisan geometri dapat memiliki faktor persekutuan pecahan, dalam hal ini setiap bilangan yang berurutan lebih kecil dari bilangan yang mendahuluinya. 1, 1/2, 1/4, 1/8... adalah contoh. Faktor persekutuannya adalah 1/2.
Fakta bahwa barisan geometri memiliki faktor persekutuan memungkinkan Anda melakukan dua hal. Yang pertama adalah menghitung elemen acak apa pun dalam urutan (yang oleh matematikawan suka menyebutnya "tidakth"), dan yang kedua adalah mencari jumlah barisan geometri hingga
tidakelemen ke-. Saat Anda menjumlahkan barisan dengan memberi tanda plus di antara setiap pasangan suku, Anda mengubah barisan menjadi deret geometri.Menemukan Elemen ke-n dalam Deret Geometris
Secara umum, Anda dapat merepresentasikan deret geometri apa pun dengan cara berikut:
a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +.. .
dimana "Sebuah" adalah suku pertama dalam deret dan "r" adalah faktor umum. Untuk memeriksa ini, pertimbangkan seri di manaSebuah= 1 danr= 2. Anda mendapatkan 1 + 2 + 4 + 8 + 16... berhasil!
Setelah menetapkan ini, sekarang mungkin untuk mendapatkan formula untuk suku ke-n dalam barisan (xtidak).
x_n = ar^{(n-1)}
eksponennya adalahtidak1 daripadatidakuntuk memungkinkan suku pertama dalam barisan ditulis sebagaiar0, yang sama dengan "Sebuah."
Periksa ini dengan menghitung suku ke-4 dalam deret contoh.
x_4 = (1) × 2^3 = 8
Menghitung Jumlah Barisan Geometris
Jika Anda ingin menjumlahkan barisan divergen, yaitu barisan dengan rasio yang sama lebih besar dari 1 atau kurang dari -1, Anda hanya dapat melakukannya hingga sejumlah suku berhingga. Dimungkinkan untuk menghitung jumlah barisan konvergen tak hingga, yang merupakan salah satu dengan rasio umum antara 1 dan 1.
Untuk mengembangkan rumus jumlah geometris, mulailah dengan mempertimbangkan apa yang Anda lakukan. Anda mencari total dari rangkaian penambahan berikut:
a + ar + ar^2 + ar^3 +... + ar^{(n-1)}
Setiap suku dalam deret tersebut adalahark, dankpergi dari 0 ketidak− 1. Rumus jumlah deret tersebut menggunakan tanda sigma kapital – ∑ – yang berarti menjumlahkan semua suku dari (k= 0) sampai (k = tidak − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
Untuk memeriksanya, perhatikan jumlah 4 suku pertama deret geometri yang dimulai dari 1 dan memiliki faktor persekutuan 2. Dalam rumus di atas,Sebuah = 1, r= 2 dantidak= 4. Dengan memasukkan nilai-nilai ini, Anda mendapatkan:
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
Ini mudah untuk diverifikasi dengan menambahkan sendiri angka-angka dalam seri. Faktanya, ketika Anda membutuhkan jumlah deret geometri, biasanya lebih mudah menambahkan angka sendiri ketika hanya ada beberapa suku. Namun, jika deret memiliki banyak suku, jauh lebih mudah menggunakan rumus jumlah geometris.