Kebanyakan orang mengingatTeori Pitagorasdari geometri pemula — ini klasik. Nya
a^2 + b^2 = c^2
dimanaSebuah, bdancadalah sisi-sisi segitiga siku-siku (cadalah sisi miring). Nah, teorema ini juga bisa ditulis ulang untuk trigonometri!
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
Identitas Pythagoras adalah persamaan yang menulis Teorema Pythagoras dalam hal fungsi trigonometri.
utamaIdentitas Pythagorasadalah:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
Identitas Pythagoras adalah contoh dariidentitas trigonometri: persamaan (persamaan) yang menggunakan fungsi trigonometri.
Mengapa Itu Penting?
Identitas Pythagoras bisa sangat berguna untuk menyederhanakan pernyataan dan persamaan trigonometri yang rumit. Hafalkan mereka sekarang, dan Anda dapat menghemat banyak waktu di kemudian hari!
Bukti menggunakan definisi fungsi trigonometri
Identitas ini cukup sederhana untuk dibuktikan jika Anda memikirkan definisi fungsi trigonometri. Misalnya, mari kita buktikan bahwa
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
Ingatlah bahwa definisi sinus adalah sisi yang berlawanan / sisi miring, dan kosinus adalah sisi yang berdekatan / sisi miring.
Begitu
\sin^2 = \frac{\text{lawan}^2} {\text{sisi miring}^2}
Dan
\cos^2 = \frac{\text{berdekatan}^2} {\text{sisi miring}^2}
Anda dapat dengan mudah menjumlahkan keduanya karena penyebutnya sama.
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{lawan}^2 + \text{berdekatan}^2} {\text{sisi miring}^2}
Sekarang lihat lagi Teorema Pythagoras. Dikatakan bahwaSebuah2 + b2 = c2. Ingatlah bahwaSebuahdanbberdiri untuk sisi yang berhadapan dan bersebelahan, dan,csingkatan dari hipotenusa.
Anda dapat mengatur ulang persamaan dengan membagi kedua sisi denganc2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
SejakSebuah2 danb2 adalah sisi yang berhadapan dan bersebelahan danc2 adalah sisi miring, Anda memiliki pernyataan yang setara dengan yang di atas, dengan (berlawanan2 + berdekatan2) / sisi miring2. Dan terima kasih untuk bekerja denganSebuah, b, cdan Teorema Pythagoras, Anda sekarang dapat melihat pernyataan ini sama dengan 1!
Begitu
\frac{ \text{lawan}^2 + \text{berdekatan}^2} {\text{sisi miring}^2} = 1
dan maka dari itu:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(Dan lebih baik untuk menuliskannya dengan benar: sin2(θ) + cos2(θ) = 1).
Identitas Timbal Balik
Mari luangkan beberapa menit untuk melihatidentitas timbal balikdemikian juga. Ingatlah bahwatimbal-balikadalah satu dibagi dengan ("lebih") nomor Anda - juga dikenal sebagai kebalikannya.
Karena cosecan adalah kebalikan dari sinus:
\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}
Anda juga dapat memikirkan cosecan menggunakan definisi sinus. Misalnya, sinus = sisi berlawanan / sisi miring. Kebalikan dari itu akan menjadi pecahan terbalik, yaitu sisi miring / sisi yang berlawanan.
Demikian pula, kebalikan kosinus adalah garis potong, sehingga didefinisikan sebagai
\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} \text{ atau } \frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi yang berdekatan}}
Dan timbal balik tangen adalah kotangen, jadi
\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\text{sisi yang berdekatan}}{\text{sisi yang berlawanan}}
Pembuktian identitas Pythagoras menggunakan secan dan cosecan sangat mirip dengan pembuktian sinus dan cosinus. Anda juga dapat menurunkan persamaan menggunakan persamaan "induk", sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Bagi kedua ruas dengan cos2(θ) untuk mendapatkan identitas 1 + tan2(θ) = detik2(θ). Bagi kedua ruas dengan sin2(θ) untuk mendapatkan identitas 1 + cot2(θ) = csc2(θ).
Semoga berhasil dan pastikan untuk menghafal tiga identitas Pythagoras!
