Setelah Anda mulai melakukan trigonometri dan kalkulus, Anda mungkin mengalami ekspresi seperti sin (2θ), di mana Anda diminta untuk menemukan nilaiθ. Bermain coba-coba dengan grafik atau kalkulator untuk menemukan jawabannya akan berkisar dari mimpi buruk yang berlarut-larut hingga benar-benar mustahil. Untungnya, identitas sudut ganda ada di sini untuk membantu. Ini adalah contoh khusus dari apa yang dikenal sebagai rumus majemuk, yang memecah fungsi bentuk (SEBUAH + B) atau (SEBUAH – B) menjadi fungsi justSEBUAHdanB.
Identitas Sudut Ganda untuk Sinus
Ada tiga identitas sudut ganda, masing-masing untuk fungsi sinus, cosinus, dan tangen. Tetapi identitas sinus dan kosinus dapat ditulis dalam berbagai cara. Berikut adalah dua cara penulisan identitas sudut ganda untuk fungsi sinus:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
Identitas Sudut Ganda untuk Cosinus
Ada lebih banyak cara untuk menulis identitas sudut ganda untuk kosinus:
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
Identitas Sudut Ganda untuk Tangen
Untungnya, hanya ada satu cara untuk menulis identitas sudut ganda untuk fungsi tangen:
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
Menggunakan Identitas Sudut Ganda
Bayangkan Anda dihadapkan pada segitiga siku-siku di mana Anda mengetahui panjang sisi-sisinya, tetapi tidak mengetahui ukuran sudutnya. Anda telah diminta untuk menemukanθ, dimanaθadalah salah satu sudut segitiga. Jika sisi miring segitiga tersebut berukuran 10 satuan, sisi yang berdekatan dengan sudutmu berukuran 6 satuan dan sisi di depan sudut berukuran 8 satuan, tidak masalah jika Anda tidak tahu ukuran measureθ; Anda dapat menggunakan pengetahuan Anda tentang sinus dan kosinus, ditambah salah satu rumus sudut ganda, untuk menemukan jawabannya.
Setelah Anda memilih sudut, Anda dapat menentukan sinus sebagai rasio sisi yang berlawanan dengan sisi miring, dan cosinus sebagai rasio sisi yang berdekatan dengan sisi miring. Jadi dalam contoh yang baru saja diberikan, Anda memiliki:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
Anda menemukan dua ekspresi ini karena keduanya adalah blok penyusun terpenting untuk rumus sudut ganda.
Karena ada begitu banyak rumus sudut ganda untuk dipilih, Anda dapat memilih rumus yang terlihat lebih mudah untuk dihitung dan akan mengembalikan jenis informasi yang Anda butuhkan. Dalam hal ini, karena Anda tahu dosaθdan karenaθsudah, jelas bahwa ekspresi yang paling nyaman adalah:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ
Anda sudah mengetahui nilai sinθ dan cosθ, jadi substitusikan ke dalam persamaan:
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
Setelah Anda menyederhanakan, Anda akan memiliki:
\sin (2θ) = \frac{96}{100}
Kebanyakan grafik trigonometri diberikan dalam desimal, jadi selanjutnya kerjakan pembagian yang diwakili oleh pecahan untuk mengubahnya menjadi bentuk desimal. Sekarang kamu punya:
\sin (2θ) = 0,96
Akhirnya, temukan invers sinus atau arcsine dari 0,96, yang ditulis sebagai sin −1(0.96). Atau, dengan kata lain, gunakan kalkulator atau grafik Anda untuk memperkirakan sudut yang memiliki sinus 0,96. Ternyata, itu hampir sama persis dengan 73,7 derajat. Jadi 2θ= 73,7 derajat.
Bagilah setiap ruas persamaan dengan 2. Ini memberi Anda:
= 36,85 \teks{ derajat}